简谐运动及其图象
我们对弹簧振子的位移与时间的关系做些深入的研究．从图中可以看出，小球运动时位移与时间的关系很像正弦函数的关系．
第二部分 简谐振动参量关系：
知识点睛
由于是变力作用，所以简谐振动的物体运动量与时间的关系很难用初等数学解答，一般的解法是直接解微分方程．
根据牛顿第二定律： f?ma
fk 可得物体的加速度为：a???x
mmk 对于给定的弹簧振子，m和k均为正值常量，令?2?
m2dx 则上式可以改写为 a???2x或2??2x?0
dt这是个二阶的微分方程，这里就给出具体解的过程了。这个方程的解为x?Acos??t???，其中A为振幅，?为初相，?t??叫相位．
m． k当然还有比较巧的办法：如图所示，一质量为m的质点在xy平面内以原点O为圆心做匀速圆周运动，该质点在x轴上的投影（P点）将以O为中心在x轴上振动，这个振动与圆周运动有什么关系呢？
那么周期为：T?2π
设圆半径为r，角速度为?，则质点受向心力大小为F?m?2r
设t?0时，半径跟x轴方向的夹角为?0，经时间t半径跟x轴方向夹角为?，则??wt??0，在任意 时刻t，质点在x轴上的位移为x?r?cos?wt??0? 向心力在x轴上的分量为Fx??mw2rcos?wt??0? 由以上两式得 Fx??mw2x
令?mw2，则 Fx??Kx
结果表明：做匀速圆周运动的质点在x轴方向上的分运动满足简谐运动条件，所以x轴方向的分运动是简谐运动．
上述结论可以通过图所示实验验证，图中M是在水平方向做简谐运动的弹簧振子．M?是在水平面上做匀速圆周运动的球，用水平方向的平行光照射小球和振子，使振子M振动的振幅等于小球M?做圆周运动的半径，使M和M?的运动周期相同，调整好两球开始运动时的位置，可以看到竖直屏上的两个影子运动情况完全相同．
理论和实验都表明，在xy平面内做匀速圆周运动的质点在x轴上的分运动是简谐运动，我们在研究简谐运动时就可以借助于这个圆运动，为了研究简谐运动而引入的圆叫参考圆．参考圆是研究简谐运动的一种方便而有效的方法． 第三部分 单摆
知识点睛
生活中经常可以看到悬挂起来的物体在竖直平面内摆动，我们用细线悬挂着的小球来研究摆动的规律。
如图，如果细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆。单摆是实际摆的理想化模型。显然，单摆摆动时摆球在做振动，但它是不是在做简谐运动？
如图，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器向下喷出一细束墨水。沿着与摆动方向垂直的方向匀速拖动一张白纸，白纸上的墨迹便画出振动图象（x?t图象）。注射器的摆动是不是简谐运动？ 单摆的回复力
我们在一般条件下研究单摆是不是做简谐运动，最简单的方法是看它的回复力是否满足F??kx的条件。 摆球静止在O点时，悬线竖直下垂，摆球受到的重力G与悬线的拉力F?平衡。小球受的合力为零，可以保持静止，所以O点是单摆的平衡位置。拉开摆球，使它偏离平衡位置，放手后摆球所受的重力G与拉力F?不再平衡。在这两个力的合力的作用下，摆球沿着以平衡位置O为中心的一段圆弧AA?做往复运动，这就是单摆的振动。因为摆球沿圆弧运动，因此可以不考虑沿悬线方向的力，只考虑沿圆弧方向的力。当摆球运动到某点P时（如图），摆球在圆弧方向上受到的只是重力在这个方向的分力F?mgsin?，这就是它的回复力。
在偏角很小时，摆球对于O点的位移x的大小，与?角所对的弧长、?角所对的弦都近似相等，因而sin??所以单摆的回复力为F??x，lmgx，其中l为摆长，x为摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F与位移x的方向lmg相反。由于m、g、l都有确定的数值，可以用一个常数k表示，于是上式写成F??kx，可见，在偏角很小的情
l况下，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，因此单摆做简谐运动。 单摆的周期
最早发现单摆具有周期性的是伽利略，后来荷兰物理学家惠更斯通过详尽的研究单摆的振动，发现单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。惠更斯
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