系5个加速度等。由于这个加速度过于依赖向量微分的理解，这里就不引入了。
期望着以上的讨论能引起同学们对于向量代数甚至向量微积分的兴趣，因为很复杂的物理情景理解问题在向量微积分里可以简化为几个简单的算符。
学而思物理竞赛的教学一种灌输一种观点，那就是方程是最美最高效率的物理语言。开始喜欢上物理的同学一般都是因为物理对现实的超理性理解。但多数喜欢物理的人进入大学后都容易对脱离实际现象的数学运算产生排斥感和畏惧感，希望同学们尽量的克服。一旦我们弄懂一个方程运算可以处理的实际情景之广泛，就会疯狂的喜欢上这种方程。方程会让我们对众多的问题有一个统一的观点，方程会让我们需要记忆的量以及概念辨析的量减少为最少。
从现实的角度，很多喜欢物理而且具备很高物理直觉天赋的同学最终在学习物理的过程中被郁闷，基本都是因为不适应物理的数学描述方式。我们提倡数理结合一起理解物理的教学观点也是希望更早的开始帮助我们同学克服上述困难。同学们要在科学道路上走的更高更远，与其被数学语言虐，不如学会去享受它。
当然如果我们学习物理只是作为科学知识去了解物理一下，物理确实不需要过多的数学语言去表达它。即便从概念以及逻辑思辨的角度去学习物理，物理也是很美丽很迷人的，因为他可以几乎可以无限的满足人先天本能中那种无法抑制的探索欲与求知欲。 知识点睛 一．功
物体在外力作用下，在力的方向上发生了一段位移，则外力对物体作功。功表征了力对空间的累计效应。 1.恒力做功
在恒力F作用下质点沿直线发生了一段位移?l，则在此过程中，力对质点所做的功按以下计算： W?F?lcos?
其中θ为F与?l的夹角。这个公式记为矢量的点乘式为： W?F??l
功的单位为焦耳（J），其中1J?1N?m 注意：
① 功为标量，但有正负：
② 多个力对物体作功，等于各力对物体作功的代数和。
③ 功的计算式中位移是受力质点作用点的参考系位移。 实例：
ruuvrrruuv证明：W??F??l?(F1?F2?L?Fn)??l?W1?W2?L?Wn??Wi
1.如图：拉力F对球做功等于Fx，但弹簧对墙做功为0。
2.如图：一子弹射入一个可以自由移动的木块，设相互作用大小为F，则： 子弹队木块做功：FS
木块对子弹做功：-F(l+S)
这样的定义必然导致相互作用力的总功不一定为零，这和相互作用力冲量很不一样，所以当我们对于一个系统进行功的计算时，必须考虑内力。恒定的相互作用力的总功为W?F?d，其中d为相对位移。功的定义导致功的计算
依赖参考系的选取，但是相互作用力的总功与参考系的选取无关。中学阶段只要不刻意强调，功指的都是对地的功。 ④ 易证明恒力做功与轨迹无关，只取决于恒力方向上的位移。
如轨迹为曲线，可以把曲线看成无穷多段，如图，设恒力F作用下一物体，从a位置运动到b位置,把轨迹分成无穷段，分别为?l1，?l2，?l3… 整个过程中做功为
W?F??l1?F??l2?F??l3??F??l总?F?lF
其中?lF为F方向上位分位移，与F同向取正，反之取负。 实例：
如图，用水平恒定的拉力F，把一个质量为m的球拉至新位置，拉力做功为Fl，重力做功为mgh。 2.变力做功
微元思想给出了变力做功的计算方法，无限分割路径，以直线段代替曲线段，计算每一小段功，累加即可，可以把功当做力对路径的路径积分。
vW??F??l
ltl0 作出Fcos?:l的函数图像，曲线与横轴所围面积表示功的大小：
Fcos?
lo实例：
a?lb
如图：弹性系数为 k 的弹簧，在弹力的作用下，从距原长为 x0 收缩到 x，作出弹力随着位移的函数图象，规定向右为正。图中阴影部分面积为弹簧对物体做功。
由面积公式：?W?1212kxo?kx 223.功率
单位时间做功为功率，用字母P表示，则功率定义式为：
?W
P??t 其中?t代入总时间则计算得平均功率，?t趋近于零则计算为瞬时功率，瞬时功率还可用P?Fvcos?计算，其中θ为F与v夹角。 4.功与动能
计算功的目的是什么？功也是力的一种效果，定性的可以想到一定也是改变了与物体运动状态有关的一个物理量。以下我们用微元法推导，做功过程中一个重要原理：动能定理。
假设一个物体在外力F作用下，由a运动到b，速度由v0变化为vt，把整个轨迹等分成很多的?l， 对一段，由于轨迹很短，可以看为匀变速直线运动，由牛顿第二定律： Fcos??ma
11120v?v 又a1?t2x1122m(v1?v0) 2122则同理有?W2?F2??l2cos?2?m(v2?v1)
2 122?W3?F3??l3cos?3?m(v3?v2)2易得：?W1?F1??l1cos?1? …
122?Wn?1?Fn?1??ln?1cos?n?1?m(vn?vn?1)2 122?Wn?Fn??lncos?n?m(vt?vn)2122 叠加得??Wi?m(vt?v0)
2 我们定义一个质量为m的物体以速度为v的物体具备的一个状态量为：Ek?212mv,叫一个物体的动能，用字母Ek表示，记212mv 2 上述推导结论可以表达为，一个物理做成中外力对某质点做功等于其动能增加量，这个原理叫质点动能定理。 对于质点组的情况，只需要把多个质点的方程叠加即可，注意质点组之间的相互作用总功在叠加过程中不一定能消去（内力总功不一定为零），那么质点组动能定理可表达为：
W内?W外??EK1??EK2?即内力与外力总功等于系统总动能变化。 实例：
当人从地面上跳起过程中，地板对人的力作用于脚上，起跳过程中，虽然身体重心在上升，但是脚没有上升，所以地面未对人做功，对人做正功的只能是人自身的内力（肌肉对骨骼的力，不是武侠小说中的内力），导致人加速上升。而跳水的时候，情况正好相反，跳板对人做功导致人加速上升。
从以上实例中我们应该看到，分析同一个事件，牛顿定律认为是地面对人的支持力导致人产生向上的加速度，但动能定理却认为是人自身的内力导致人动能增加。由于方程的不同，导致解释时的描述不同。
知识点睛 一．势能
运动的物体具备一种做功的本领，我们上讲定义其为动能。那么是否静止的物体也可以具有做功的本领呢？回答显然是肯定的，比如被举高的重物，形变后的弹簧等。为了研究这些现象，我们有必要拓展能量的定义。
我们把一个物理过程中，做功数值与路径无关的力叫保守力。若两质点间存在着相互作用的保守力作用，当两质点相对位置发生改变时，不管途径如何，只要相对位置的初态、终态确定，则保守力做功是确定的。
存在于保守力相互作用质点之间的，由其相对位置所决定的能量称为质点的势能。规定保守力所做功等于势能变化的负值，即：
W保守???EP。
说明：势即位也，势能这个定义，顾名思义显然就是与物体间位置有关的能量，所以要引入保守力的概念。计算势能时，还要注意以下几点： （1）势能的相对性。
通常选定某一状态为系统势能的零值状态，则任何状态至零势能状态保守力所做功大小等于该状态下系统的势能值。原则上零势能状态可以任意选取，因而势能具有相对性。 （2）势能是属于保守力相互作用系统的，而不是某个质点独有的。 （3）只有保守力才有相应的势能，而非保守力没有与之相应的势能。 二．常见的几种势能 （1）重力势能
在地球表面附近小范围内，mg重力可视为恒力，取地面为零势能面，则h高处重物m的重力势能为
Ep?mgh
（2）弹簧的弹性势能
取弹簧处于原长时为弹性势能零点，当弹簧伸长（压缩）x时，弹力F=-kx，弹力做的功为
1W??kx22
由前面保守力所做功与势能变化关系可知
W???EP??(EP?0)
所以： E弹?12kx 2（3）引力势能
质点间的引力势能为 EP??GMm（选取无穷远为零势能面） r 关于万有引力的规律我们将在以后的讲义中具体讲解，这里列出这个公式是提醒同学们：重力势能公式是引力势能在近地附近的近似，如果一个物体被举高10m，那么重力势能可以用mgh近似计算，如果物体被举高1000km，
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