b2这段流体的机械能E2。由b1到a2这一段，经过时间?t，虽然流体有所更换，但由于我们研究的是理想流体的定
常流动，流体的密度?和各点的流速v没有改变，动能和重力势能都没有改变，所以这一段的机械能没有改变，这样机械能的改变E2?E1就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能。
1212mv1??v1?Vm???V2 由于，所以流入的那部分流体的动能为 2
重力势能为 mgh1??gh1?V
1212mv2??v2?V22流出流体的动能为
重力势能为 mgh2??gh2?V
机械能的改变为
E2?E1?12?(v2?v12)?V??g(h2?h1)?V2
理想流体没有粘滞性，流体在流动中机械能不会转化为内能，所以这段流体两端受的力所做的总功W等于机械能的改变E2?E1，
即 W?E2?E1
所以有：
(p1?p2)?V?12?(v2?v12)?V??g(h2?h1)?V2
整理后得
p1?1212?v1??gh1?p2??v2??gh222
a1和a2是在流体中任意取的，所以上式可表示为对管中流体的任意处：
p?1?v2??gh?常量 2 这个方程叫伯努利方程。
流体水平流动时，或者高度差的影响不显著时（如气体的流动），伯努利方程可表达为
12?v?常量 2 可知，在流动的流体中，压强跟流速有关，流速v大的地方要强p小，流速v小的地方压强p大。 伯努利方程的应用举例：
p?
经过漏斗吹乒乓球时，乒乓球上方空气的流速大，压强小，下方空气的压强大，乒乓球受到向上的力，所以会贴
在漏斗上不会掉下来。向两张纸中间吹气，两张纸中间空气的流速大，压强小，外边空气的压强大，所以两张纸将互相贴近。同样的道理，两艘并排的船同向行驶时如果速度较大，两船会互相靠近，有相撞的危险。历史上就曾经发生过这类事故。在航海中。对并排同向行驶的船舶，要限制航速和两船的距离。
甲：不转球乙：旋转球
球类比赛中的旋转球和不转球的飞行轨迹不同，是因为球周围空气流动情况不同造成的。图甲表示不转球水平向左运动时周围空气的流线。球的上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差。现在考虑球的旋转，致使球的下方空气的流速增大，上方流速减小，周围空气流线如图乙所示。球的下方流速大，压强小，上方流速小，压强大。跟不转球相比，图乙所示旋转球因为旋转而受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲。足球比赛中的香蕉球也是这个原理。 三．力的两种定义法
力的严格数学定义有两种，一种是从动量的角度定义， 即：Fx??px 理解为一个体系受力为一个体系的动量随时间变化率。 ?t?Ek ?x?Ep?x
另一种是从能量的角度定义 动能角度：Fx? 或者从势能的角度： Fx?? 从数学上，力的概念看起也很严密，当然这仅仅是从数学角度而已。牛顿质点力学的哲学体系还会要求每个力都找出“施力者”与“受力者”，并认为力具备相互性。对于容易隔离出个体的宏观低速问题，依然可以近似的认同牛顿体系对力的定义。继续的物理学习中我们会发现这两种定义方式都与牛顿体系有着深度的哲学上的矛盾。在数学方程与哲学原理在逻辑上产生矛盾的时候，物理学当然会毫不犹豫的选择放弃哲学观点。
本讲提示：
1.归纳力学模型，提高分析综合问题的能力； 2.总结力学原理适用范围以及使用某个原理的目的。
从数学的角度，所有牛顿力学范围内的问题都可以通过一个套路化的流程解决：先利用牛顿第二定律列出微分方程与牵连方程，再找出边界条件，剩下的工作交给解方程即可，方程会回答所有的问题。但是在高中遇到的问题绝大部分都是一些特殊情景，数学模型都很巧，所以基本不用积分（而且对大部分同学来说套路解法也不现实，学会做微积分的数学题不难，难在对着物理问题运用微分方程）。这就出现了联立受力分析，运动态分析，动量分析，能量分析，角动量分析5大力学思路综合运用的特殊解法。
从考试的角度，无论是高考压轴，自招还是竞赛，多数同学要能迅速准确答题，基本都得多归纳，多训练，通过“刷题”积累模型。从学习的角度，积累模型的同学总算比对着样题模仿的同学学的深刻一些。应试大战中的“超级成功人士”，考试的时候，大部分时候基本不是在根据原理分析题，而是条件反射的写出对习题条件的解读，只有少数的地方他会去动些脑经。
从学习的角度，我们不太支持我们的同学把空闲时间无限度的花在“刷题”上，虽然这样考试成绩提高明显。大家可把本讲当做一次对前期所学物理原理的一次复习和反思。把不同的物理原理放在一个物理模型中思考，既能加深对原理的理解，又能获得较高成就感，更有趣的是我们往往会发现一些“矛盾”甚至是“悖论”，当然这些矛盾多数不是某个物理原理错了，而是我们理解不当。物理学的发展往往在这些矛盾的解决过程中实现，比如历史上麦克斯韦方程与经典力学在光速问题上的矛盾就导致了相对论的产生 。我们同学学习物理的过程中也会不停的遇到前后知识在同一模型中矛盾的情况，可以说解决这些问题的过程中我们不仅会加强对定律本质的理解，更会训练出一种能力，这种能力会在将来的学习以及研究过程中经常用到。
总的来说，学习物理，思考物理，其味无穷，其乐亦无穷。
知识点睛 一．受力分析
一个物体的运动状态与之受力有必然对应关系，这就是我们分析问题首先应该注意到的思路。 从运动态出发,力学的方程有： 1.刚体平衡必须满足两个条件
其一：力的矢量和等于零,即 ?Fi?0
其二：作用于刚体的力对于矩心O的合力矩也为零,即 ?Mi?0 某个力的力矩定义为力臂与力的叉乘,即 M?r?F
分析的时候注意具体力的特点，注意总结典型力学模型中受力特点。 注意“轻”的东西无论运动态如何，受力为平衡力（矩）。 2.如物体不平衡
（1）对平动，一个物体加速度满足牛顿第二定律：
F?a?或?F?mam
这个定律使用既可以在直角坐标系使用，也可以在其它坐标系使用，如果在自然坐标中使用，我们把垂直速度的
加速度叫向心加速度，由向心力提供。牛顿定律使用的难点在于注意发现某个分量上的加速度特点以及熟练使用矢量分解技巧。牛顿定律的作用是计算运动态与力的关系，以及对加速度积分得到速度变化量，对速度积分得到位移。
牛顿定律分别对时间积分得到动量定理，对空间积分得到动能定理。对系统使用分别得到动量守恒条件以及系统能量守恒的原理。
使用牛顿定律经常要换参考系，变化参考系时必须补画惯性力，惯性力的大小等于受力物质量与参考系绝对加速度之乘积，方向与参考系绝对加速度相反。
（2）对转动，我们引入角动量这个物理量（以下内容了解即可）：
角动量 力矩对应力，动量作为一个矢量，也可以类似的引入一个动量矩，叫角动量：L =r×p
这里的p是一个动量，而r是一个从某个参考点出发的位移矢量，一般我们取这个参考点是相对于参考系静止的。暂时我们只考虑质点的情况，刚体的角动量以后再引入。 角动量定理
下面我们考虑这个L随时间的变化：
?L(r??r)?(p??p)?r?p?r?p?r??p?p ???r??t?t?t?t?r （因为?v，且v//p,所以v?p?0）
?t
所以类似于动量和力的关系，我们可以知道：
?L?p?r??r?F?M ?t?t也就是质点对任意固定点的角动量的时间变化率等于外力对该点的力矩。只有质点系的外力的力矩才会改变质点点系
的角动量，而内力相互抵消。
【总结】受力分析的目的在于弄清楚力与运动的关系，弄明白哪些量守恒。 二．运动态分析
运动态分析包含：
1.轨迹的认识，通常用坐标系分解去理解。
要注意分析运动的合成与分解，独立性原理，换系后相对运动计算。 2.牵连速度
（1）杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速 （2）接触物体在接触面法线方向的分速度相同,切向分速度在无相对滑动时也相同.
（3）线状交叉物体交叉点的速度是相交物体双方沿各自切向运动分速度的矢量和. 3.牵连加速度
三．直角坐标系中某方向速度比等于加速度比
四．用绳或者杆连接物体改变沿绳子速度大小加速度一直（注意沿绳子合加速度通常不一致），或者利用换系后的圆周运动理解加速度关联，对于接触面为曲线的情况一般也采用换系后使用向心加速度公式推导关联加速度。 三.动量分析
质点的动量变化有力的冲量导致，即：
vuvuuvuvuvvI合?Ft?p??p?m(v'?v)
这个方程多数使用正交分解的矢量式。
对于一个质点系，内力总冲量为零，该方程也成立。如一个体系外力时刻为零，则动量守恒。动量方程与牛顿定律方程不必同时列出，但与能量方程具备互补性。 2.能量分析
一个物体，外力对之做功等于动能该变量，即：
一个封闭体系，所以能量的总和为零，如有外力功，可理解为引入能量。 以上能量方程只列一个即可，也不与牛顿定律同时出现。 3.角动量分析 角动量守恒
从前面的公式我们可以知道，只有当M=0时，角动量才能守恒，那么只有两种情况： 1.外力为零。
2. 力F通过定点，也就是有心力，那么相对于那个定点，力矩始终为零，所以角动量守恒。 使用角动量注意参考点的选择。
【总结】解决复杂力学问题的两条路径：动量分析与功能分析以及运用角动量守恒，在复杂的问题中，这几条规律往往一起运用，看起来他们的定义与关系都很相似，但是其实是三个完全独立的方程，动量讨论方向问题，而能量讨论力与位移的关系，角动量讨论有心力场的问题。
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知识点睛
一.开普勒行星运动定律
人类对于天空的观测可能从人类诞生就开始了，关于天空的知识历来就充满了神秘感，比如古代的中国人就相信天空中的某些现象能预示一个王朝的兴亡或某个人的生死，“昨夜老夫夜观天象…”是咱们的老祖宗诓人时常用的起语。起源于古代巴比伦时期的星座占星术，到了二十一世纪依然是众多受过高等教育的年轻人判断第二天人品值的重要参考。科学与迷信都起源于对现实的观察与描述，也都是对现实观察的推断，只不过后者更加严密和精确罢了。而后者会比较接近艺术家的思维方式：睁开眼睛看3秒，然后闭上眼睛让想象力驰骋，最后“顿悟”了。 当然古代天文学中也有对天空理性的描述，第一个值得回顾的是古希托勒密提出的地心学说，地心学说认为行星有一个“本轮”绕着地球做动，同时行星又绕着本轮做圆周运动，用两个角速度合成就能描述行星位置。真正有物理天赋的同学很容易看出来地心学说其实很靠谱，那个就是太阳。究竟是以地为心还是以日为心从物理学角度其实没有本质的的差别，无外乎参考系不同而已，如果天体运行是圆轨道，无论地心说说在描述轨道上是等效的。至于宇宙真正的“心”是地球还是太阳还是不该是当时的科学家应该想的问题，一个科学家要做的是帮助人类获得可信的认知进步。从物理的角度，日心说后来至上只不过是因为在描述时更加简明。而后来科学家对古希腊理论最大的突破在于用椭圆轨道代道。
不过由于天主教会把地心说上升为真理，反地心说因而具备了巨大的
腊哲学家圆周运在天空的本轮其实是非对错还是日心无心，这实实在在行星运动替了圆轨
第谷 (1546-1601)
哲学以及
社会意义。如大家所知，伽利略首先提出了质疑，哥白尼又提出了日心说，“斗士”布鲁诺还因为宣扬宇宙无心还被教会给烧死了。这里我们不想重复去这段已经写入中学政治课本的革命史，其实无论是教会还是打着哲学家头号的“斗士”，都不会去关心科学的本质。他们大多无外乎挂是科学的羊头卖自己社会观点狗肉而已，为了在普通大众那得到更多支持与利益，科学要么被利用，要么被整编，要么被牺牲。也是基于此，我们课程特别注重给我们的
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