同学介绍真正的科学史。除了激发我们同学的学习兴趣外，真正的科学史还可以使我们受到思维的启发，让我们感受到科学的本质。
在伽利略发明了望远镜后，人类对天体运动的观察有了突飞猛进的进步。伟大的天文学家开普勒在他的老师，现代天文学始祖第谷的观察数据基础上，归纳出行星运动的三大定律。开普勒定律是人类第一次对天体运行的精确定律，开启了现代天文学的新篇章。这三个定律分别为：
§第一定律: 行星围绕太阳的运动轨道为椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上．
说明图如下，行星的轨迹只是近似的圆，严格来说都是椭圆，距离太阳距离时远时近，速度也时慢时快，但具有周期性。数学上椭圆有两个焦点，太阳位于椭圆的一个焦点上。
§第二定律:行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积．
下面举一个例子详加说明：
为用数学式子表述第二定律，设径矢r在?t时间内扫过的面积为?A，则面积速度： ?A1为，由图可知，?A?r?rsin? ?t2?A1?r1故面积速度为?rsin??rvsin??C常量
?t2?t2式中v为行星运动的线速度，?为径矢r与速度v方向之间的夹角．当行星位于椭 圆轨道的近日点或远日点时，速度v的方向与径矢r的方向垂直，即??90?，故 ?A11?r近v近?r远v远 ?t22这个定律显然是角动量守恒的一个特例． 【说明】
开氏第二定律有两种用法 2.计算瞬时速度与位置关系。
3.根据面积速度计算运行时间，当然前提是求出矢径扫过的面积。
§第三定律:各行星绕太阳运动的周期平方与轨道半长轴立方的比值相同，即
T2 3?k
a开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运动．也适用于卫星绕行星的运动．关于椭圆的必要数学知识请参看附录，本讲涉及的数学知识请大家务必在短时间内弄懂。
椭圆的数学描述 §椭圆第零定义
椭圆看上去就是个圆被踩扁后的形状，故椭圆的第零定义（由于数学教材已经规定了第一与第二定义的方法，这里姑且把这个最易理解与推导的定义叫第零定义）就是把一个圆向着有夹角的平面投影，则可得到一个椭圆，如图：
设圆在其坐标系里半径为a，把圆心放入坐标原点，根据两点间距离公式，显然其方程为
x2y2??1 a2a2 投影后，平行于圆面与椭圆所在平面交线的坐标x坐标值不变，但垂直x轴的y坐标变小，变小比例一定只取
决于两面夹角，所以椭圆的方程变为：
x2y2 2?2?1，
ab其中a叫长半轴b叫短半轴，且知两个面上y坐标之比为
2圆的面积为 S0??a
b a用这个定义，很容易由面积摄影定理证明椭圆的面积公式：
根据面积摄影定理
Sb? S0a（这个公式这里就不做推导了，很容易理解，大家可以用一个边平行于两面交线的长方形证明，再把一般的形状用微元法割成无数小长方形即可）
所以椭圆面积为 S??ab，
这个定义法适合描述椭圆上部分的面积，对于椭圆上部分面积，大家可以用上面的示意图。先把椭圆上的形状反投影到圆上，再计算圆上的面积，最后再根据面积射影定理计算椭圆面积即可。这个方法后面会有例题涉及。
§椭圆的第一定义：
在平面上固定两个点，到这两个点的距离和很等于2a的点的集合也是一个椭圆，这两个参考点叫椭圆的焦点。根据这个定义，用两点间距离公式也能证明椭圆方程。
其中 │F1O│=│F2O│=c,
设椭圆上一个点的坐标（x，y）根据定义写出方程：
(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?2a
x2y2 化简可得2?2?1（化简过程略去）
ab 其中 b?a2?c2
从图中还可以看出：
│F1B1│=│F2B1│=│OA1│=│OA2│=a │OB1│=│OB2│=b
我们又把c与a的比叫一个椭圆的离心率记作：e?c a 这个定义在计算椭圆参数时比较适合，但是讨论轨迹细节不实用，计算过于繁琐。这就要引入：
§椭圆第二定义：
把到一个定点F1(焦点)与定直线（又叫准线）距离之比为衡量的（比例系数正是前文提到的离心率e，且椭圆的离心率e<1）点构成的平面图形叫椭圆。 其中用p表示焦点到准线间的距离，在直角坐标系中可以证明准线的直角坐标方程是：
a2 x??（用距离公式可推，大家可以自己算一下）
c那么焦点到准线的距离为:
a2b2?c? p?cc 下面推导一下极坐标系中椭圆的方程，极坐标我们前面讲义引入过，极坐标用平面内到极点的距离?与到极轴的角度?定义平面内的点。如下左图：
极径：到参考点（极点）的距离，用?表示
极角：与参考射线（极轴）的夹角，用θ表示 ，注意θ逆时针为正，这样点的坐标为（?，θ） θ与?满足的方程叫平面内曲线的轨迹，比如把一个半径为R的圆的圆心放在极点，其方程为： ??R
如上右图，设??F1A， 则： e?
F1到准线距离为p,定义离心率e为椭圆上的点到焦点与到准线的距离比，
???pcos?
化简得到：
??ep1?ecos?
【注意】
抛物线双曲线也符合这个公式，只是离心率分别取1和大于1。一般的直角坐标方程与极坐标方程变换的公式，当极点重合直角坐标原点，极轴重合x轴时，如图：
易知直角坐标变化为极坐标变换式为：
反之有：
?x??cos???y??sin?
??2?x2?y2??ytan??(x?0)?x?
用以上公式可以实现极坐标与直角坐标方程的互变。 【总结】
以上3个椭圆的数学定义法在计算轨道参数时都将使用，一般性的原则如下：
1.从开普勒行星第二定律看出，行星运动过程中运动的时间是正比于行星扫过的面积的，那么只要我们用投影法计
?A算出行星的极径扫过的面积，再除以面积速度，即能推导出行星运动的时间了。
?t2.极坐标特变适合处理行星运动方位问题，所以我们将用的更多一些，直角坐标比较适合处理一些特殊位置的情景。 3.从公式的角度，长半轴a是一个重要的参数，很多轨道参数都与a有直接联系，提醒使用的时候注意。 阅读材料：
1571年12月27日，开普勒出生在德国威尔的一个贫民家庭。开普勒的童年时代充满了不幸，但是正是这种不幸磨练出他无
比坚强的意志。在贫困的煎熬和丧父的悲痛中（他的母亲还被诬陷下狱），开普勒坚持到大学毕业，并成为蒂宾根大学最优秀的毕业生。 后来开普勒获得天文学家第谷的赏识，在第谷的帮助和指导下，开普勒的学业有了巨大的进步。第谷死后，开普勒接替了他的职位，被聘为皇家学者。当时的皇家聘请天文学家作为皇家学者，其实并不是多么重视科学，反倒是他们相信天文学家比较擅长夜观星相占卜未来（@#￥%&！愚昧的人都是相似的，聪明的人各有各的机巧）。比如第谷就曾经“成功的”预言了苏莱曼苏丹的死而名声大震，从而名利双收。
相比于他的老师第谷，开普勒在忽悠贵族骗名骗利方面显然没有那么多的天赋，皇室学者的身份并没有为开普勒带来多少的收益。开普勒从事这份工作的原因是为了研究第谷积累了二十多少年天文观测数据，在贫困交加和别人的鄙视中，他利用一切的时间去探究这些数据背后的“天机”。
通过16年的不懈努力下，开普勒终于获得了成功。到1619年，开普天体运动三定律的研究和出版。但论文的出版并没有为开普勒带来荣誉与的书很快被列为禁书，甚至连他的生命也受到威胁。1630年11月，因数生活难以维持，年迈的开普勒不得不亲自到雷根斯堡索取。不幸的是，他抱病不起。1630年11月15日，开普勒在一家客栈里悄悄地离开了世界。书籍和手稿之外，身上仅剩下了7分尼（0.07马克）。
科学家的故事我们同学从小读过很多，甚至开普勒的故事应该也有不过我们同学读到科学家的故事多数都是人们加工美化过的。如同我们想向的物理学一般，我们也想向大家介绍真正的物理学家，真正的物理学家的眼中，科学家存在的意义就是发明各种先进的玩意让普通大众的生活越来学家同时也名利双收。在科学家的周围，充满了耀眼光环与人们的敬仰，为这个原因投身科学的。但实际上，他们很快会发现很多科学家在他所在困潦倒，甚至在社会生活中显得微不足道，没有多少人关心他们在做什么。了很大的成就，往往也需要几十年上百年才被后世的人理解和感激。
即便在现代，那些真正从事前沿研究的科学家，在生活中也是平平凡的科学家，往往不是因为他们的专业贡献，而是因为他们身上一些能吸引东西（比如霍金）。真正的物理学史，会让从小陶醉在科学家梦想的人感到
少同学读过。不大家介绍真正生活。在世俗的越美好，然后科很多人就是因的时空，往往贫勒完成了他对金钱，相反，他月未得到薪金，刚刚到那里就他死时，除一些
“我曾测量过天空， 而现在
测量幽冥，灵魂飞向天国，肉体安息土中”天空立法者--开普勒(1571-1630)
即便他们获得凡的。很多出名普通人眼球的无比的残酷与
失落。我们不禁要问：几百年来，无数物理家不顾一切沉迷研究的真正目的是什么？难道是天生脑子烧坏了，还是伟大到为了全人类几百年后的幸福生活？按现代环保主义者的观点，科学这三百年做的事情，无外乎是加速了这颗星球上的人口膨胀，资源消耗与环境巨变，使人类几乎无可避免的在本世纪末面临灭亡命运。所谓的“人类的幸福”一直以来只是人类自私的借口，那么物理学真正目标在哪儿？
“当我们仰望星空...”无数文学作品以这句让人心旷神怡，遐想无限的话作为起首语。是的，对于宇宙万物的探索欲是我们人类最深刻最本质的欲望。这个本能深植与我们的基因之中，甚至当初造物主在创造生命的时候就决定了这一切。当我们仰望星空的时候，看这繁星点点，人类一切它欲念与情感都显得那么微不足道。我们从哪里来？我们要到哪里去？我们处于一个什么样的宇宙之中？为什么会有那么多我们无法理解的规律性的现象？我们的先人正是在这个强烈的好奇心驱动下，不顾一切前赴后继献身于探索的征程。 正如开普勒在出版他的书的时候写下的那段话：“这正是我十六年前就强烈希望探求的东西。我就是为了这个目的同第谷合作的……现在大势已定！书已经写成，是现在被人读还是后代有人读，于我却无所谓了。也许这本书要等上一百年，要知道，大自然也等了观察者六千年呢！”在开普勒看起来，大自然召唤者我们人类去发现它的规律，无论多少艰难险阻他都会投身其中。这是历史上每一个有重大发现的科学家的共识！即便人类真的在不久的将来面临灭亡，在人类灭亡的那一瞬间，真正的科学家惋惜的一定是还有那么多的我们不理解的规律没有能够弄明白。从这个角度，开普勒的一生一点也不可怜，一点也不孤单，也没有多少事情需要惋惜。他的经历，是一个真正的科学家需要去面对，去承担的。他获得的回报是他真正的享受了获得发现的快乐。
写下以上这么多，不仅仅是想向各位同学介绍一下这位伟大的科学先驱，也是给我们同学一个正确的导向。在这个重视眼前利益的国度，在现实主义的氛围中，当我们有志于投身科学的时候，驱动我们的是想成为科学家的梦想还是无法抑制的探索欲念？如果是仅仅是前者，我们觉得最好放弃！
⑤ 万有引力定律
到底是什么原因引起了开普勒的规律的天体运动？由于基督教曾经解释一切天体运动都是由于上帝派出的天使驱动的原因，所以思考这个问题本身在中世纪的时候就是违法的。当然再严酷的法律也不可能遏制人类探索自然规律的渴望。开普勒以后，很多科学家对天体运动的本因进行分析。受伽利略“力是改变运动状态原因的思维方式的影响，科学家的注意力都集中到了研究控制行星运动的力。这个力是谁施加给行星的？符合什么规律？
胡克与哈雷等人从惠更斯的圆周运动向心力定理出发，把椭圆退化成一个圆。证明了控制行星运动的力必然正比于受力者质量，反比于到圆心距离的平方（这个推导比较简单，我们会作为一个例题让大家自己享受一下发现的幸福）。但对于椭圆轨道，受限于他们的数学能力，无法给予证明。更关键的是，这个力是如何施加给行星的？
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