弹性力学空间问题

如果分别采用 表示柱坐标下的位移分量；采用 和 分别表示柱坐标下的应力和应变分量。则它们应该满足下列方程，有

1、平衡微分方程

2、几何方程

3、物理方程

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2、空间球对称问题的基本方程

对于球对称问题，也就是说物体的几何形状，约束条件，外力和其他外界因素都对称于某一点（例如坐标原点）。

由于变形的对称性，则 。根据几何方程和本构方程，则 和 ，其余的应变分量和应力分量也仅是坐标R 的函数，而与坐标?，??无关。而且 。因此基本方程可以简化为

如果将球对称位移代入平衡微分方程，则球对称条件下的位移表示的平衡微分方程为

§10.3 半无限平面受法向力的作用

学习思路:

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1885年，布西内斯科（Boussinesq.J.V）首先求解了半无限平面受法向集中力作用的问题，因此该问题称为布西内斯科问题。 这一问题的求解是弹性力学最有理论价值的结论之一。

布西内斯科问题的求解对于地基应力、基础沉陷和弹性力学接触等领域的研究工作具有重要的应用价值，为相关学科的理论研究奠定了基础。

根据结构分析，问题是空间轴对称问题，因此采用柱坐标求解。求解方法采用位移法，求解步骤为：

1、建立位移表示的平衡微分方程。

2、引入乐甫（love）位移函数简化问题分析。这一方面简化问题分析，使得基本方程成为双调和方程；另一方面，乐甫函数作为基本未知量可以表达弹性体的位移和应力分量，因此减少了面力边界条件在位移解法中应用的困难。

3、根据问题的性质假设乐甫位移函数，并且通过边界条件确定函数的待定系数。

4、回代可以确定问题的位移，特别是半无限平面的沉陷等。 学习要点：

1、位移表示的平衡微分方程；2、乐甫位移函数与基本方程；3、乐甫位移函数的选择与基本未知量；4、边界条件与布西内斯科解。 1、位移表示的平衡微分方程

设半无限体的表面受法向集中力F的作用，选取坐标系如图所示

在不计重力的条件下，求半无限体内的应力和位移分布情况。

对于半无限平面受法向集中力F的作用问题。根据结构的受力分析，显然这是一个空间轴对称问题，因此采用柱坐标求解。

问题的求解有多种方法，下面讨论位移法求解。

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将轴对称问题的本构方程

代入平衡微分方程

则可以得到位移表示的平衡微分方程

其中，空间轴对称问题的拉普拉斯算符为 。 如果不计体力，则平衡微分方程可以简化为

2、乐甫位移函数与基本方程

对于无体力的半无限平面受法向集中力作用问题，基本方程为在给定边界条件下求解位移表示的平衡微分方程。对于空间轴对称弹性体分析，可以引入乐甫（love）位移函数简化问题分析。设位移分量为

将上述位移分量代入平衡微分方程，可以得到关于??(?，z)的双调和方程。

??(?，z)称为乐甫函数。因此，问题就归结于在给定的边界条件下求解双调和函数??(?，z)。

引入乐甫位移函数一方面可以简化问题，使得基本方程成为双调和方程；另

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