一方面由于乐甫函数作为基本未知量可以表达弹性体的位移和应力分量，因此减少了面力边界条件在位移解法中应用的困难。
将乐甫函数表达的位移分量代入几何方程和本构方程，则
问题求解的关键是建立双调和函数??(?，z)。 3、乐甫位移函数的选择与基本未知量
根据量纲分析，应力分量表达式应为 F 乘以?，z，R 等长度坐标的负二次幂，位移分量应为长度坐标的负一次幂函数。如果注意到应变分量和位移分量之间的关系，以及应变分量和应力分量之间的关系，可以知道，乐甫函数?(?，z) 为
?，z，R的正一次幂的双调和函数。所以设乐甫位移函数为
其中 ，而A和B为任意常数。将乐甫函数代入位移和应力分量表达式，则可以得到位移分量
应力分量
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4、边界条件与布西内斯科解
根据面力边界条件，有 边界条件第二式，可得
考虑距离表面为z 的水平面上的正应力的合力
由平衡条件，有
求解可以得到
联立求解上述方程，可得
。
回代可得位移分量为
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。根据上述
应力分量为
根据位移表达式，对于任何一条常数的直线上，位移与距坐标原点的距离成反比。在无穷远点，位移趋于零。在 z = 0的平面上，即半无限体表面上任一点的法向位移（即沉陷）为
上式对于任意的 z =0，而??≠0均成立。公式表明，半无限体表面的沉陷与该点到力的作用点的距离成反比。
上述公式称为布西内斯科解。 §10.4 半无限平面作用法向分布载荷
学习思路:
通过布西内斯科问题解答的叠加，可以得到表面区域作用分布载荷问题的解答。
本节讨论半无限体，表面半径为a到圆形区域，作用均匀法向分布力问题。分析半无限弹性体的应力和位移分布等，特别是表面沉陷问题。
问题分为三个部分讨论。一是载荷作用区域中心点下方的位移；二是载荷作用区域外的沉陷；三是载荷作用区域内的沉陷。
由于分布载荷是连续的，因此问题的迭加工作可以通过积分完成。这里应该特别注意的是布西内斯科解的坐标在积分中的变换问题。由于坐标的变换，因此对于每一个问题都要建立积分的局部坐标。
积分坐标变换是本节学习的难点。 学习要点：
1、载荷作用区域中心点下方的位移；2、载荷作用区域外的沉陷；
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3、载荷作用区域内的沉陷。
1、载荷作用区域中心点下方的位移
在半无限体的表面半径为a到圆形区域作用法向分布力，其应力分量和位移分布情况可以通过半无限体受法向集中力的结果迭加得到。设圆形区域的半径为a，单位面积的压力为q，如图所示
首先分析载荷作用圆形区域中心下面（即z轴上）任意一点的位移表达式。对于圆形区域中心下面任意一点M，由于对称性，有
z方向的位移分量可以根据公式的第二式得到。引进变量?, 并且注意到
则环形面积上的分布载荷q引起圆形区域中心下面任意一点M 的位移为
所以
令上式中z=0，则可得载荷圆域中心点的沉陷为
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