2、载荷作用区域外的沉陷
下面讨论半无限体表面的沉陷。对于半无限体表面上的点M，则必须首先区分它在载荷圆形区域之外，还是在圆形区域之内。
如果点M 位于载荷圆形区域之外，则由图可见
变量s 和?作为描述圆形区域的局部坐标，则根据公式可得图中阴影部分的合力在M点产生的沉陷为
因此，M点的总沉陷为
对上式进行积分，注意到弦mn的长度，即 并且在积分时考虑对称性，可得
积分上限?1是?的最大值，即圆的切线与OM之间的夹角，对于确定的点M，它是确定的值。为了简化运算，我们引进变量? ，由图可见，它与??之间的关系为
a sin??= ? sin?
由此可得
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将上式代入积分公式，并且注意到当?从0变化到?1 时，?由0变化到?/2，于是
上式右边的两个积分为椭圆积分，他们可以按照?a/??的数值从函数表中查出。当??=a时，则
3、载荷作用区域内的沉陷
如果点M位于载荷圆域内部，考虑图中的阴影部分
（其面积为dA=sd?ds）在点M 引起的沉陷，然后经积分，得到总沉陷为
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由于弦mn的长度，即 ，而?是由0变化到?/2的，所以
利用关系式a sin? =?? sin?，则上式成为
上式右边的椭圆积分，可以通过查表而得到。若令??=0，则可以得到公式
的结果，它是半无限体表面的最大沉陷。将公式
和公式 相比
较，可见最大沉陷是载荷圆边界沉陷的?/2倍。由公式可以看到，最大沉陷不仅与载荷集度q成正比，而且还与载荷圆的半径成正比。
半无限体表面作用分布载荷的应力分量同样可以使用叠加法求解。 §10.5 赫兹接触问题
学习思路:
1881年,赫兹（hertz,H.R）首先研究了弹性球体的接触问题。本节以弹性球体的接触介绍接触问题的基本概念。
由于球体的接触区域对于弹性球体是局部，因此，弹性球体的接触问题可以以半无限平面分布载荷解为基础，分析接触区域的局部变形。这里的问题是球体接触压力是未知函数，因此必须首先根据球体的变形确定未知接触压力。
赫兹认为接触区域（半径为a的圆）的压力与接触区域半球面的纵坐标成正比。根据这一假设和球体变形分析，可以确定接触压力分布函数和接触区域。
进一步的讨论可以确定球体的接触应力和变形。
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学习要点：
1、弹性球体变形分析；2、球体接触压力分析。
1、弹性球体变形分析
设弹性球体的半径分别为A1和A2，变形前两球体在O点接触（相切）。两个球体在其中心均受集中力F的作用，变形后球体
在半径为 a 的圆形区域接触。接触区域内任意一点与中心的距离为?，并且球体在?的沉陷分别为?1， ?2 ，则
其中 。
由于接触区域对于弹性球体是局部，因此??远小球体的半径A1和A2, 因此可以采用半无限平面解答分析接触局部变形。
对于两球体距离接触面足够远的任意两点A1和A2,由于相互压缩而相互接近的距离为?，相对位移分别为w1和w2，则
如果将球体接触面看作弹性半无限体作用圆形区域分布载荷问题，A1和A2为球体接触面上的点，则位移为
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