弹性力学空间问题

，

其中, E1，?1和E2，?2分别为球体R1，R2的弹性模量和泊松比。则

2、球体接触压力分析

应该注意的是，这里接触压力q是未知函数，因此，首先必须确定圆形区域的接触分布载荷。赫兹认为接触区域的接触压力与接触区域半球面的纵坐标成正比。根据这一假设和球体变形分析，可以确定接触压力分布函数和接触区域，有

其中qmax为接触区域中心的压力， ? sin??为接触区域内部任意一点与接触区域中心的距离。如图所示

因为s长度mn为 。s长度mn中点的压力为q(?)，所以

因此， ，回代可得

，

因此 。 圆形接触区域的半径为

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。

最大接触压力为

。

如果E1=E2=E，?1=?2=0.3，则

圆形接触区域的半径为

球体接触为

。

根据上述分析，也可以进一步求解球体的接触应力分布。 §10.6 弹性力学热应力问题

学习思路:

弹性体由于环境温度的变化而导致膨胀和收缩，并且伴随产生应力，这种由于温度改变出现的应力称为温度应力，或者热应力。对于某些在温度变化环境下工作的工程结构，热应力是不容忽视的。

本节将通过简例扼要说明热应力的弹性力学分析方法。

对于热应力问题，平衡微分方程和几何方程是相同的，不同的是物理方程。 通过受热厚壁管道和坝体热应力分析，介绍热应力问题分析和求解的基本方法。 学习要点：

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1、热应力的弹性力学分析方法；2、受热厚壁管道；3、热弹性势函数和管道热应力；4、楔形体坝体；5、坝体热应力。 1、热应力的弹性力学分析方法

对于各向同性弹性体，在均匀温度下受热将发生膨胀，如果变形前的三个坐标方向尺寸相同，均为l，变形后各个方向的伸长均为?l，?称为线膨胀系数。如果温度变化为T，则各个坐标方向的线应变为

如果弹性体所处的环境温度是随着时间和空间变化的，称为温度场。在直角坐标系，温度场是时间和坐标的函数，有 T= T (x，y，z，t)。如果温度场不随时 间变化（ ），称为定常温度场，即热源强度W=0。否则均为非定常温度场。温度场是一种数量场。

热量的传递引起温度的变化，也就是温度梯度的变化。如果单位时间、单位面积上传递的热量定义为热流密度，显然热流密度与温度梯度成正比，方向相反。这一规律称为傅立叶定律。

以下给出平面热应力问题的基本方程。对于热应力问题，平衡微分方程和几何方程是相同的，不同的是物理方程。

平面应力问题，本构方程为

平面应变问题，本构关系为

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下面给出受热管道和坝体的热应力分析结果。 2、受热厚壁管道

对于受热厚壁管道，设管道的内径为a，外径为b。管道内温度增量为Ta，管道外温度增量为0，管道内无热源时管道内热应力为0。由于管道为定常温度场，根据热传导方程可以得到

作为轴对称温度场，有 。积分可得 。

根据边界条件 ，可以得到 。则

。

对于轴对称问题，有 。

平衡微分方程为 。

几何方程 。

本构方程

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