专题三 解析几何
[江苏卷5年考情分析]
小题考情分析 1.直线与圆、圆与圆的位置关系常考点 (5年4考) 2.圆锥曲线的方程及几何性质(5年5考) 偶考点 第一讲 小题考法——解析几何中的基本问题 考点(一) 直线、圆的方程 [题组练透]
1．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为____________． 解析：由题意知直线l与直线PQ垂直，所以kl＝－所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
2．(2018·南通一模)已知圆C过点(2，3)，且与直线x－3y＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C的方程为____________．
解析：设圆心为(a，b)， 33?b－·＝－1，
3则?a?a－2＋(b－3)＝a＋
2
2
2
大题考情分析 主要考查直线与椭圆(如2014年、2015年、2017年、2018年)的位置关系、弦长问题、面积问题等；有时也考查直线与圆(如2016年)，常与向量结合在一起命题. 直线的方程、圆的方程 主要考查圆的方程以及直线方程、圆的基本量的计算. 1
kPQ＝1.又直线l经过PQ的中点(2,3)，
b－3
2
，
解得a＝1，b＝0，r＝2.
即所求圆的方程为(x－1)＋y＝4. 答案：(x－1)＋y＝4
3．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系xOy中，
2
2
2
2
?
若动圆C上的点都在不等式组?x－
?x＋
C的标准方程为____________．
x≤3，
3y＋3≥03y＋3≥0
，表示的平面区域内，则面积最大的圆
解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，面积最大的圆C即为可行域三角形的内切圆．由对称性可知，圆C的圆心在x轴上，设半径为r，则圆心C(3－r,0)，且它与直线x－3y＋3＝0相切，所以|3－r＋3|2
＝r，解得r＝2，所以面积最大的圆C的标准方程为(x－1)＋1＋3
y2＝4.
答案：(x－1)＋y＝4
[方法技巧]
1．求直线方程的两种方法 直接法 待定 系数法 选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果 先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数 2
2
2.圆的方程的两种求法 几何法 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程 代数法 用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程 考点(二) 直线与圆、圆与圆的位置关系 主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系，以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值与范围问题. [典例感悟]
[典例] (1)(2018·无锡期末)过圆x＋y＝16内一点P(－2,3)作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为________．
(2)(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4,0)，B(0,4)，从直线AB上一点P向圆x＋y＝4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为
2
2
2
2
M，则线段AM长的最大值为________．
[解析] (1)设O到AB的距离为d1，O到CD的距离为d2，则由垂径定理可得d1＝r－??
?2?
2
2
2
?AB?
226?CD?2?AB?22222
，d2＝r－??，由于AB＝CD，故d1＝d2，且d1＝d2＝OP＝，所以??＝r－d1＝16
22?2??2?
131911
－＝，得AB＝38，从而四边形ACBD的面积为S＝AB×CD＝×38×38＝19. 2222
(2)法一：(几何法) 因为直线AB的方程为y＝x＋4，所以可设P(a，a＋4)，C(x1，y1)，
D(x2，y2)，所以PC的方程为x1x＋y1y＝4，PD的方程为x2x＋y2y＝4，将P(a，a＋4)分别代
??ax1＋
入PC，PD的方程，得?
??ax2＋
a＋4y1＝4，a＋4y2＝4，
则直线CD的方程为ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，所以直线CD过定点N(－1,1)，
又因为OM⊥CD，所以点M在以ON为直径的圆上(除去原点)．又因为以ON为直径的圆
?1?2?1?21
的方程为?x＋?＋?y－?＝，所以AM的最大值为
?2??2?2?－4＋1?2＋?1?2＋2＝32. ???2????2?2
法二：(参数法) 因为直线AB的方程为y＝x＋4，所以可设P(a，a＋4)，同法一可知直4－4y线CD的方程为ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，得a＝.又因为O，P，M三点共
x＋y线，所以ay－(a＋4)x＝0，得a＝
2
4x4－4y4x?1?.因为a＝＝，所以点M的轨迹方程为?x＋?
y－xx＋yy－x?2?
?1?21
＋?y－?＝(除去原点)，所以AM的最大值为?2?2
[答案] (1)19 (2)32
?－4＋1?2＋?1?2＋2＝32. ????2
2??2??
[方法技巧]
解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略
(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．
(2)解决直线与圆相关的最值问题：一是利用几何性质，如两边之和大于第三边、斜边大于直角边等来处理最值；二是建立函数或利用基本不等式求解．
(3)对于直线与圆中的存在性问题，可以利用所给几何条件和等式，得出动点轨迹，转化为直线与圆、圆与圆的位置关系．
[演练冲关]
1．已知圆M：(x－1)＋(y－1)＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A的横坐标的取值范围是________．
解析：由题意知，直线l与圆M相离，所以点A在圆M外．设AP，AQ分别与圆M相切于点P，Q，则∠PAQ≥∠BAC＝60°，从而∠MAQ≥30°.因为MQ＝2，所以MA≤4.设A(x0,6－x0)，则MA＝(x0－1)＋(6－x0－1)≤16，解得1≤x0≤5.
答案：[1,5]
2．(2018·苏北四市期末)在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x＋(y－1)＝r(r>0)上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：(x－2)＋(y－1)＝1上，则r的取值范围是________．
解析：设圆C1上存在点P(x0，y0)满足题意，点P关于直线x－y＝0的对称点Q(y0，x0)，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
??x0＋y0－1＝r，则?2
?y0－2＋x0－1?
2
2
2
2
＝1，1－0
2
故只需圆x＋(y－1)＝r与圆(x－1)＋(y－2)＝1
2－1
2
22222
有交点即可，所以|r－1|≤
答案：[2－1，2＋1]
＋≤r＋1，解得2－1≤r≤2＋1.
3．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0)在圆C：x＋y－2mx－4y＋m－28＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为________.
解析：圆C的标准方程为(x－m)＋(y－2)＝32，圆心为C(m,2)，半径为42，当△ABC的面积的最大值为16时，∠ACB＝90°，此时C到AB的距离为4，所以4≤CP＜42，即16≤(m－3)＋(0－2)＜32，解得23≤|m－3|＜27，即m∈(3－27，3－23]∪[3＋23，3＋27)．
答案：(3－27，3－23 ]∪[3＋23，3＋27)
4．(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x＋4)＋(y－a)＝16上的两个动点，且AB＝211.若直线l：y＝2x上存在唯一的一个点P，―→―→―→
使得PA＋PB＝OC，则实数a的值为________．
解析：法一：设AB的中点为M(x0，y0)，P(x，y)，则由AB＝211，得CM＝16－11＝―→―→―→―→1―→22
5，即点M的轨迹为(x0＋4)＋(y0－a)＝5.又因为PA＋PB＝OC，所以PM＝OC，即
2
2
2
2
2
2
2
222
x0＝x－2，???(x0－x，y0－y)＝?－2，?，从而?a2??y0＝y＋，?2?
a?
则动点P的轨迹方程为(x＋2)＋?y－?
?2?
2
?
a?2
＝5，又因为直线l上存在唯一的一个点P，所以直线l和动点P的轨迹(圆)相切，则
?－4－a???2??
2＋－1
2
2
＝5，解得a＝2或a＝－18.
法二：由题意，圆心C到直线AB的距离d＝16－11＝5，则
AB中点M的轨迹方程为(x＋4)2＋(y－a)2＝5.由PA＋PB＝OC，得
―→―→―→―→
2PM＝OC，所以PM∥OC.如图，连结CM并延长交l于点N，则
―→―→―→
CN＝2CM＝25.故问题转化为直线l上存在唯一的一个点N，使得CN|2×－4－a|
＝25，所以点C到直线l的距离为＝25，解得a＝2或a＝－18. 22
2＋－1
答案：2或－18
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