考点(三) 圆锥曲线的方程及几何性质 [题组练透]
主要考查三种圆锥曲线的定义、方程及几何性质，在小题中以考查椭圆和双曲线的几何性质为主. 1．(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线y＝8x的焦点，则点F到双曲线－＝1的渐近线的距离为________．
169
33
解析：抛物线的焦点F(2,0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨取y＝x，即3x44－4y＝0，所以焦点F到渐近线的距离为
6
答案： 5
2．(2018·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，
6＝. 22
53＋－4
|6|
2
x2y2
x2y2
B1，B2分别为椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的
ab右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是________．
―→―→
解析：由题意得，A(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，F(c,0)，所以B2F＝(c，－b)，AB1
―→―→2222
＝(－a，－b)，因为B2F⊥AB1，所以B2F·AB1＝0，即b＝ac，所以c＋ac－a＝0，e＋e－1＝0，又椭圆的离心率e∈(0,1)，所以e＝答案：
5－1
2
5－1
. 2
3．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y＝1的右准线与它的两条
3渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．
33
解析：由题意得，双曲线的右准线x＝与两条渐近线y＝±x的交点坐标为
233??3
?，±?.
2??2
不妨设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2， 则F1(－2,0)，F2(2,0)， 故四边形F1PF2Q的面积是
x2
2
11
|F1F2|·|PQ|＝×4×3＝23. 22答案：23
x24．(2018·常州期末)在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x＋y＋1＝0与双曲线C：2
ay2
－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取b值范围是________．
bbbc解析：双曲线的渐近线分别为y＝x，y＝－x，依题意有－>－1，即b aaaa＝ c2 a2 a2＋b2 <2.又因为e>1，所以e的取值范围是(1，2)． a2 答案：(1，2) [方法技巧] 应用圆锥曲线的性质的两个注意点 (1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键． (2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出 的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围． [必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系 (1)平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0； (2)重合?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0； (3)相交?A1B2－A2B1≠0； (4)垂直?A1A2＋B1B2＝0. 2．直线与圆相交 (1)几何法 由弦心距d、半径r和弦长的一半构成直角三角形，计算弦长|AB|＝2r－d. (2)代数法 设直线y＝kx＋m与圆x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线方程代入圆方程中，消去y得关于x的一元二次方程，求出x1＋x2和x1·x2，则|MN|＝1＋k· 2 2 2 2 2 x1＋x2 2 －4x1·x2. 3．判断两圆位置关系时常用几何法 即通过判断两圆心距离O1O2与两圆半径R，r(R>r)的关系来判断两圆位置关系． (1)外离：O1O2>R＋r； (2)外切：O1O2＝R＋r； (3)相交：R－r 4．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系 (1)在椭圆中：a＝b＋c，离心率为e＝＝ (2)在双曲线中：c＝a＋b，离心率为e＝＝ 2 2 2 2 2 2 ca1－??； a1＋??. ?b?2?? ca?b?2?a? x2y2b(3)双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率 aba的关系． (二) 二级结论要用好 1．过圆O：x＋y＝r上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r. 2.过圆C外一点P做圆C的切线，切点分别为A，B(求切线时要注意斜率不存在的情况)如图所示，则 (1)P，B，C，A四点共圆，且该圆的直径为PC； (2)该四边形是有两个全等的直角三角形组成； ∠BCA∠BPAr(3)cos＝sin＝； 22PC(4)直线AB的方程可以转化为圆C与以PC为直径的圆的公共弦，且P(x0，y0)时，直线 2 2 2 2 AB的方程为x0x＋y0y＝r2. 3．椭圆焦点三角形的3个规律 x2y2 设椭圆方程是2＋2＝1(a>b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，点P的坐标是(x0，y0)． ab(1)三角形的三个边长是PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0，|F1F2|＝2c，e为椭圆的离心率． (2)如果△PF1F2中∠F1PF2＝α，则这个三角形的面积S△PF1F2＝c|y0|＝btan . 2sin∠F1PF2 (3)椭圆的离心率e＝. sin∠F1F2P＋sin∠F2F1P4．双曲线焦点三角形的2个结论 2 αx2y2 P(x0，y0)为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)上的点，△PF1F2为焦点三角形． ab(1)面积公式 1 S＝c|y0|＝r1r2sin θ＝ 2(2)焦半径 b2 tan 2 θ(其中PF1＝r1，PF2＝r2，∠F1PF2＝θ)． 若P在右支上，PF1＝ex0＋a，PF2＝ex0－a；若P在左支上，PF1＝－ex0－a，PF2＝－ex0 ＋a. 5．抛物线y＝2px(p>0)焦点弦AB的3个结论 (1)xA·xB＝； 4(2)yA·yB＝－p； (3)AB＝xA＋xB＋p. [课时达标训练] A组——抓牢中档小题 1．若直线l1：mx＋y＋8＝0与l2：4x＋(m－5)y＋2m＝0垂直，则m＝________. 解析：∵l1⊥l2，∴4m＋(m－5)＝0，∴m＝1. 答案：1 2．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝45 0的距离为，则圆C的方程为____________． 5 解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－ 22 p2 y＝0的距离d＝ 2a452＝，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝2＋ 55 2 2 5 2 ＝3，所以 圆C的方程为(x－2)＋y＝9. 答案：(x－2)＋y＝9 2 2 x222 3．(2018·镇江期末)已知双曲线2－y＝1的左焦点与抛物线y＝－12x的焦点重合， a则双曲线的右准线方程为________． 解析：因为抛物线的焦点为(－3,0)，即为双曲线的左焦点，所以a＝9－1＝8，所以双8 曲线的右准线方程为x＝. 3 8 答案：x＝ 3 4．已知直线l过点P(1,2)且与圆C：x＋y＝2相交于A，B两点，△ABC的面积为1，则直线l的方程为________． 解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为y＝k(x－1)＋2，即kx－y－k＋2＝0.因为 2 2 2
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