课时作业28 数列的概念及简单表示法
一、选择题
1．在数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中，x应取( ) A．19 C．21
B．20 D．22
解析：a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，∴x＝8＋13＝21，故选C. 答案：C
??2ann为正奇数，
2．(2016·山西长治模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝?
??an＋1n为正偶数，
则
其前6项之和为( )
A．16 C．33
B．20 D．120
解析：a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以前6项和S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C.
答案：C
3．在数列{an}中，已知a1＝a，a2＝b，an＋1＋an－1＝an(n≥2)，则a2 016等于( ) A．a C．b－a
B．b D．a－b
解析：通过计算数列的前12项可知，数列的周期为6，而2 016＝6×336，∴a2 016＝a6
＝a－b.
答案：D
4．(2016·天津一模)已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足≤2的正整数n的集合为( )
A．{1,2} C．{1,2,3}
B．{1,2,3,4} D．{1,2,4}
ann解析：因为Sn＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减得an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，又因为a1＝2a1－1，解得a1＝1，所以{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，故{an}的通项公式为an＝2
答案：B
5．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S2 014等于( )
A．1
B．4 018
n－1
.由≤2，得2
annn－1
≤2n，所以有n＝1,2,3,4.
C．2 010 D．0
解析：依题意，该数列为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1，2 008,2 009,1，…，按此规律，可知该数列的周期为6，且这6项之和为0，∴这个数列的前2 014项之和S2 014＝S335×6＋4＝S4＝2 008＋2 009＋1－2 008＝2 010.
答案：C
?3－ax＋2，x≤2，6．(2016·陕西西安模拟)已知函数f(x)＝?2
?a2x－9x＋11，x>2
*
(a>0，且a≠1)，若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1) C．(2,3)
?8?B.?，3? ?3?
D．(1,3)
3－a>0，??
解析：因为{an}是递增数列，所以?a>1，
??3－a×2＋2 7．若数列{an}的前n项和Sn＝n－10n(n∈N)，则数列{nan}中数值最小的项是( ) A．第2项 C．第4项 解析：∵Sn＝n－10n， ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11； 当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式． ∴an＝2n－11(n∈N)． 112* 记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n－11n，此函数图象的对称轴为直线n＝，但n∈N，∴ 4当n＝3时， f(n)取最小值．于是，数列{nan}中数值最小的项是第3项． 答案：B 8．数列{an}的通项an＝A．310 1 C. 19 * 2 2* B．第3项 D．第5项 n2n＋90 ，则数列{an}中的最大值是( ) B．19 D.10 60 解析：因为an＝ 11* ，运用基本不等式得≤由于n∈N，不难发现当n＝9或9090290n＋n＋ 1 nn1 10时，an＝最大． 19 答案：C 17* 9．(2016·广东三校联考)已知数列{an}满足：a1＝，对于任意的n∈N，an＋1＝an(1－ 72 an)，则a1 413－a1 314＝( ) 2 A．－ 73C．－ 7 2B. 73D. 7 1716373467613 解析：a1＝，a2＝××＝，a3＝××＝，a4＝××＝，… 7277727772777 633 归纳可知当n为大于1的奇数时，an＝；当n为正偶数时，an＝，故a1 413－a1 314＝. 777答案：D 10．(2016·浙江永康明珠学校月考)自然数按照下表的规律排列，则上起第2 013行，左起第2 014列的数为( ) A．2 013×2 014＋3 C．2 013×2 014＋1 B．2 013×2 014＋2 D．2 013×2 014 解析：表中每行的第一个数构成的数列记为{an}，则a2－a1＝1，a3－a2＝3，a4－a3＝5，…， a2 013－a2 012＝2×2 012－1，以上式子叠加可得，a2 013＝2 013×2 011＋2，由表中的数据规律 可知，第2 013行中共有2 013个数，∴第2 014行的第一个数为2 014×2 012＋2，∵第2 014行的数是以2 014×2 012＋2为首项，1为公差的等差数列，且横行有2 014个数，最后一个数是2 014×2 012＋2＋2 013，则上起第2 013行，左起第2 014列的数是在第2 014行第2 014列的数的上面的一个数，即2 014×2 012＋2＋2 013＋1＝2 014×2 012＋2 014＋2＝2 014×2 013＋2，故选B. 答案：B 二、填空题 1* 11．已知数列{an}对于任意p，q∈N，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝，则a36＝________. 91 解析：∵a1＝， 9 248 ∴a2＝a1＋a1＝，a4＝a2＋a2＝，a8＝a4＋a4＝. 999 18 ∴a36＝a18＋a18＝2a18＝2(a9＋a9)＝4a9＝4(a1＋a8)＝4(＋)＝4. 99答案：4 12．(2016·湖北八校联考)设数列{an}共有n项(n≥3，且n∈N)，且a1＝an＝1，对于每个i(1≤i≤n－1)均有________． ?a3?1??1?1?1?a2?1 解析：因为∈?，1，3?，∈?，1，3?，a1＝a3＝1，所以a2∈?，1，3?，∈?，1，3?， a1?3?a2?3??3?a2?3? ?ai＋1?1 ∈?，1，3?.若n＝3，则满足条件的所有数列{an}的个数为ai?3? * 1 所以a2＝或a2＝1或a2＝3.所以满足条件的所有数列{an}的个数为3. 3 答案：3 13．已知数列{2 n－1 ·an}的前n项和Sn＝9－6n，则数列{an}的通项公式是________． 0 解析：当n＝1时，2·a1＝S1＝3，∴a1＝3. 当n≥2时，2 3 n－1 ·an＝Sn－Sn－1＝－6， 3，n＝1，?? ∴an＝－n－2，∴通项公式an＝?3 2－n－2，n≥2.??23，n＝1，?? 答案：an＝?3 －n－2，n≥2??2 1＋an* 14．(2016·贵州贵阳监测)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N)，则该数列的前 1－an2 015项的乘积a1·a2·a3·…·a2 015＝________. 1＋a11＋a211＋a311＋a4 解析：由题意可得，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2＝a1， 1－a11－a221－a331－a4 ∴数列{an}是以4为周期的数列，而2 015＝4×503＋3，a1a2a3a4＝1，∴前2 015项的乘积为1·a1a2a3＝3. 答案：3 三、解答题 15．(2016·河南郑州质量预测)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，求使(n－8)bn≥nk对任意n∈N恒成立的实数k的取值范围． 解：(1)由于Sn＝2an－2， 所以，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1， 即 * 503 an＝2. an－1 n* 数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，所以an＝2(n∈N)． (2)bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝1＋2＋3＋…＋n＝由(n－8)bn≥nk对任意n∈N恒成立，即实数 * nn＋1 2 . ≥k对n∈N恒成立． * n－8 2 n＋1 1 设cn＝(n－8)(n＋1)，则当n＝3或4时，cn取得最小值为－10，所以k≤－10. 216．(2016·甘肃天水一模)已知数列{an}中，a1＝1，且an＋an＋1＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前n项和为Sn，求S2n. 解：(1)∵an＋an＋1＝2，① ∴an＋1＋an＋2＝2 n＋1 nn② n②－①，得an＋2－an＝2. 由a1＝1，a1＋a2＝2，得a2＝1. 当n为奇数时， an＝(an－an－2)＋(an－2－an－4)＋…＋(a3－a1)＋a1 ＝2 n－2 ＋2 n－4 ＋…＋2＋1 11n＝×2＋； 33当n为偶数时， an＝(an－an－2)＋(an－2－an－4)＋…＋(a4－a2)＋a2 ＝2 n－2 ＋2 n－4 ＋…＋2＋1 2 11n＝×2－. 33 11 ×2＋，n为奇数，??33 故a＝?11 ×2－，n为偶数.??33 nnn 1111112n－1112n12 (2)S2n＝×2＋＋×2－＋…＋×2＋＋×2－ 33333333122n22n－12n＝(2＋2＋…＋2＋2)＝(2－1)． 33
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