[基础题组练]
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( ) 1
A．y＝－x
xC．y＝ln x－x
B．y＝x2－x D．y＝ex－x
1
解析：选A.对于A，y1＝在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y
x1
＝－x在(0，＋∞)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y′x＝ex－1，而当x∈(0，＋∞)时，y′＞0，所以函数y＝ex－x在(0，＋∞)上是增函数．
2．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( ) A．(－∞，－2) C．(1，＋∞)
B．(－∞，1) D．(4，＋∞)
解析：选D.由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)，注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．
3．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是( ) A．(－∞，0) C．[0，＋∞)
10，? B.??2?1
，＋∞? D.??2?
2??x（1－x），x≥0，??－x＋x，x≥0，
解析：选B.y＝|x|(1－x)＝?＝?2函数的草图如图所示．
?－x（1－x），x＜0??x－x，x＜0?
1
0，?上单调递增．故选B. 由图易知原函数在??2?4．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是( )
11
－，－3? A.??3?C．[－3，－22] B．[－6，－4] D．[－4，－3]
解析：选B.由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即
1
a
可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－∈[2，3]，即a∈[－
26，－4]．
?1??＜f(1)的实数x的取值范围是( ) 5．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f???x??
A．(－1，1) C．(－1，0)∪(0，1)
B．(0，1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
??1?＞1，???|x|＜1，1???＜f(1)，得??x??解析：选C.由f(x)为R上的减函数且f?即所以－1＜x??x???x≠0.???x≠0，
＜0或0＜x＜1.故选C.
6．函数f(x)＝4－x－x＋2的值域为________．
??4－x≥0，
解析：因为?所以－2≤x≤4，
?x＋2≥0，?
所以函数f(x)的定义域为[－2，4]．
又y1＝4－x，y2＝－x＋2在区间[－2，4]上均为减函数， 所以f(x)＝4－x－x＋2在[－2，4]上为减函数， 所以f(4)≤f(x)≤f(－2)． 即－6≤f(x)≤6. 答案：[－6，6]
2??m＋x，|x|≥1，
7．设函数f(x)＝?的图象过点(1，1)，函数g(x)是二次函数，若函数f(g(x))
?x，|x|＜1?
的值域是[0，＋∞)，则函数g(x)的值域是________．
2??m＋x，|x|≥1，
解析：因为函数f(x)＝?的图象过点(1，1)，所以m
?x，|x|＜1?
?x2，|x|≥1，?
＋1＝1，解得m＝0，所以f(x)＝?画出函数y＝f(x)的大致图
??x，|x|＜1.
象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．
而f(x)的值域为[－1，＋∞)，f(g(x))的值域为[0，＋∞)， 因为g(x)是二次函数， 所以g(x)的值域是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)
??（3a－1）x＋4a，x＜1，
8．若f(x)＝?是定义在R上的减函数，则a的取值范围是
?－ax，x≥1?
________．
2
?3a－1＜0，???
解析：由题意知，?（3a－1）×1＋4a≥－a，解得?1
a≥，
??a＞0，?8
?a＞0，
11?
所以a∈??8，3?. 11?答案：??8，3?
1，x>0，??
9．设函数f(x)＝?0，x＝0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
??－1，x<0，x2，x>1，??
解析：由题意知g(x)＝?0，x＝1，函数图象如图所示，其递减区间
??－x2，x<1.是[0，1)．
答案：[0，1)
x
10．已知f(x)＝(x≠a)．
x－a
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 解：(1)证明：设x1＜x2＜－2， 则f(x1)－f(x2)＝
2（x1－x2）x1x2
－＝. x1＋2x2＋2（x1＋2）（x2＋2）
1a＜，3
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1＜x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝
a（x2－x1）x1x2
－＝. x1－ax2－a（x1－a）（x2－a）
因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0， 只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立， 所以a≤1.综上所述，0＜a≤1. 11．已知函数f(x)＝x2＋a|x－2|－4.
(1)当a＝2时，求f(x)在[0，3]上的最大值和最小值；
(2)若f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
22??x＋2x－8，x≥2??（x＋1）－9，x≥2
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋2|x－2|－4＝?2＝?， 2－1，x＜2??x－2x，x＜2（x－1）??
3
当x∈[0，2]时，－1≤f(x)≤0，当x∈[2，3]时，0≤f(x)≤7， 所以f(x)在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.
?x2＋ax－2a－4，x＞2?
(2)因为f(x)＝?2，
?x－ax＋2a－4，x≤2?
又f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，
a
所以当x＞2时，f(x)单调递增，则－≤2，即a≥－4.
2a
当－1＜x≤2时，f(x)单调递增，则≤－1.
2
即a≤－2，且4＋2a－2a－4≥4－2a＋2a－4恒成立， 故a的取值范围为[－4，－2]．
[综合题组练]
1
1．(应用型)已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，则( )
1－xA．f(x1)<0，f(x2)<0 C．f(x1)>0，f(x2)<0
B．f(x1)<0，f(x2)>0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
1
解析：选B.因为函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，所以当x1
1－x∈(1，2)时，f(x1) 当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0， 即f(x1)<0，f(x2)>0.故选B. （x－a）2，x≤0，?? 2．设f(x)＝?1若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为( ) x＋＋a，x＞0.??xA．[－1，2] C．[1，2] B．[－1，0] D．[0，2] 解析：选D.因为当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.当x＞0时，1 f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0) x＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2， 所以a的取值范围是0≤a≤2.故选D. 3．(2019·西安模拟)已知函数y＝log2(ax－1)在(1，2)上单调递增，则实数a的取值范围是( ) A．(0，1] C．[1，＋∞) B．[1，2] D．[2，＋∞) 解析：选C.要使y＝log2(ax－1)在(1，2)上单调递增，则a＞0且a－1≥0，所以a≥1.故选C. 4
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