f（x）
4．(创新型)如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I上是减函
x数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数f(x)13
＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为( ) 22
A．[1，＋∞) C．[0，1]
B．[0，3] D．[1，3]
13
解析：选D.因为函数f(x)＝x2－x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间[1，＋
22f（x）13131
∞)上是增函数，又当x≥1时，＝x－1＋，令g(x)＝x－1＋(x≥1)，则g′(x)＝－
x22x22x23x2－3
＝， 2x22x2
f（x）13
由g′(x)≤0得1≤x≤3，即函数＝x－1＋在区间[1，3]上单调递减，故“缓
x22x增区间”I为[1，3]．
5．(应用型)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是__________．
解析：在同一直角坐标系中分别作出函数y＝4x＋1，y＝x＋4，y＝－x＋8的图象后，取位于下方的部分得到函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的图象，如图所示，不难看出函数f(x)在x＝2处取得最大值6.
答案：6
a
6．已知函数f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于0的常数．
x(1)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值； (2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
aax2－a
解：(1)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，g′(x)＝1－2＝2>0.
xxx因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，
a
所以f(x)在[2，＋∞)上是增函数．则f(x)min＝f(2)＝ln .
2(2)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0. a
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．
x所以a>3x－x2.
令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)．
5
39
x－?＋在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2. 由于h(x)＝－??2?4故a>2时，恒有f(x)>0.
因此实数a的取值范围为(2，＋∞)．
2
6
相关推荐：
loading