例谈数列中的数学思想

例谈数列中的数学思想

高中数学常见的数学思想有:方程思想、函数思想、分类讨论思想、化归与转化、整体思想等；在高中数学教学过程中，加强数学思想方法的渗透，培养学生的思维能力，显得非常重要。下面通过几道例题浅谈数列解题过程中渗透的数学思想,不当之处,敬请批评指正.

1、方程思想在数列中运用

a1,d（或q),n,an,Sn.于是“知三求二”成为等差等差（比）数列一般涉及五个基本量：（比）

数列中的基本问题，可运用方程思想，通过解方程（组）求解。

例1：等差数列

?an?的前n项和为S，且S=84，S=460，求S

n

12

20

28。

解：由已知得

12(12?1)?12a?d?841??2 ?，

20(12?1)?20a?d?4601?2?解得a1??15,d?4.

故S28?28a1?28(28?1)d?1092.

2在解决问题中利用方程揭示问题隐含的等量关系，从而显露设问与条件的联系。等差（比）数列基本量之间的关系决定了方程思想在等差（比）数列问题中得以广泛运用。

22222例2、实数a1,a2,a3,a4都不为0，且(a1?a2)a4?2a2(a1?a3)a4?a2?a3?0，求证：a1,a2,a3成等比数列，且a4为其公比。

分析：题中出现了四个变量，切不可乱了阵脚眉毛胡子一把抓，要抓住一个进行研究，观察后发现以a4为主研究简单。

2222证明：由题设知，a4是一元二次方程(a1?a2)x2?2a2(a1?a3)x?a2?a3?0的实数根 22222所以??4a2(a1?a3)2?4(a12?a2)(a2?a3)??4(a2?a1a3)2?0 22所以a2?a1a3?0?a2?a1a3

因为ai?0(i?1,2,3,4) 所以a1,a2,a3成等比数列 由求根公式得：a4?所以a4为其公比。

评注：对已知等式进行整体观察，发现a4是某一元二次方程的根，从而得出巧妙的解答，颇具代表性。

例3、已知sin??cos??2a2(a1?a3)a2(a1?a3)a2 ?2?22a12(a1?a2)a1?a1a31,??(0,?)，则cot?的值是__________。 5分析：初观之，易两边同时平方---比较复杂；细察之，联想等差数列的性质，构造等差中项求解---非常简洁。

解：由sin??cos??11,??(0,?)，知sin?,,cos?成等差数列 510

11?t,cos???t 10101172222由sin??cos??1?(?t)?(?t)?1,解之得:t??

10101017?t?0,t?0?t?? 又??(0,?),?sin??1010433即sin??,cos???,所以cot???

55417评注：也可将sin??cos??同时平方得sin?cos?，进而得到sin??cos??

55设公差是t，则sin??解方程组求解。

2、函数思想在数列中运用

数列可以看作定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数。运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图像和最值等知识解决相关问题。它不仅使问题简化，而且可以加深对知识的理解。

2n1111??...??n 证明：构造函数f(n)??222232n11111??...???n?1 则f(n?1)??222232n2n?1111?(n?1?n)??两式作差得：f(n?1)?f(n)?

2n?12n?1n?1?n11?因为2n?1?n?1?n，所以

2n?1n?1?n即f(n?1)?f(n)，则函数f(n)在其定义域内是减函数

11又因为f(1)??1???0,?f(n)?f(1)?0，

221111??...??n?0，也就是Sn?n 即?222232n评注：数列是特殊的函数，构造函数后，问题转化为证明f(n)?0，即f(n)max?0

例5、已知数列{an}中，a1?1，且点P(an,an?1)(n?N*)，在直线x?y?1?0 （1）求{an}的通项公式； （2）求

例4、已知数列{an}的通项an?1，Sn为其前n项的和。求证：Sn?n

111??...?(n?N*,n?2)的最小值。 n?a1n?a2n?an分析:(1)由等差数列的通项是关于n的一次函数,易判断{an}是等差数列;又一次函数的斜率就是其

公差,易得通项公式;

(2)数列是特殊的函数,求数列最值时往往从研究其对应的函数入手,打开突破口. 解：（1）由题设a1?1，an?1?an?1，即an?1?(n?1)?1?n （2）构造函数f(n)?111??...? n?1n?2n?n111??...?则f(n?1)? n?2n?32(n?1)

11111?????0 2n?12n?2n?12n?12n?2?f(n?1)?f(n)，即函数y?f(n),n?2,n?N是增函数

117??故f(n)的最小值是f(2)? 1?22?212于是f(n?1?f(n)?评注: 数列是特殊的函数，构造函数后，问题转化为判断函数的单调性，从而得到最值。这种看似“无中生有”的想法，决非一时的突发奇想，它靠的是扎实的基本功和对事物敏锐的洞察力，只要我们平时注重知识的联系，善于将一个问题移植于一种崭新的情景中去研究，就会灵感顿生，从而创造性解决问题。

例6、已知等差数列{an}的前 m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A、130 B、170 C、210 D、260

Sd2dn?(a1?)n,可以看成关于 n的二次式函数,则n可以看成关22nS30100)(3m,3m)就在同一条直线于n的一次式函数. 一次函数图像是一条直线,那么三个点(m,)(2m,m2m3m分析:等差数列的前n项和Sn =

y?an?b上,利用斜率相等,得它的前3m项和为210.选(C).

例7、递增数列{an}，对任意正整数n，an?n2??n恒成立，求?.

分析：an?n2??n看成函数f(x)?x2??x，它的定义域是xx?1,x?N??，要使函数

?23，2f(x)?x2??x为递增函数，即单调增区间为?1,???,抛物线对称轴x??于函数为离散函数，对称轴x??得???3.

?2至少在x?1的左侧，不过由

?2在x?1.5的左侧也可以，因为B点可以比A点高。于是，??例8、若等差数列{an}和等比数列{bn}的首项均为1，且公差d?0，公比q?1，则集合

{n|an?bn},n?N*的元素个数最多是（ ）个

A、1 B、2 C、3 D、4

解析：数列是特殊的函数，等差数列{an}是直线上的点 且直线的斜率是公差，由d?0知，对应函数是增函数； 等比数列{bn}的图象是指数函数图象上的点由图象易知选B。 例9、已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，其公比q?1，bn?0，若a1?b1,a11?b11，则（ ） A、a6?b6 B、a6?b6 C、a6?b6 D、a6?b6或a6?b6 解析：利用指数函数是凹函数的特性，可知选B；可推广至：ai?bi(i?1,2,3......) 例10、在等差数列{an}中，Sn是前n项的和，公差d?0。 （1）若an?m,am?n(m?n)，求am?n；

O x y

（2）若Sm?Sn(m?n)，求Sm?n。

解析：（1）由an?dn?(a1?d)知an是关于n的一次式

则三点(m,am),(n,an),(m?n,am?n)三点共线，故任意两点连线斜率相等 即

am?n?ama?a?nm，解得am?n?0

(m?n)?mn?mn(n?1)ddd?n2?(a1?)n 222y （2）由Sn?na1?可知:Sn是关于n的二次式，且无常数项 故可构造函数f(x)?O f(m) m n x m+n d2dx?(a1?)x 22由Sm?Sn(m?n)得f(m)?f(n)则x?因此f(m?n)?f(0)?0，即Sm?n?0

m?n是此函数的对称轴， 2Sn(n?1)ddddd?n2?(a1?)n得n?n?a1? 222n22SSSS则n大关于n的一次式，所以三点(m,m),(n,n),(m?n,m?n)共线

mnm?nn另解：由Sn?na1?利用任意两点连线斜率相等易求得Sm?n?0。

例11、已知等差数列{an}的前n项和是Sn，满足S6?S7?S5，下列结论不正确的是（ ） A、d?0 B、S11?0 C、S12?0 D、S13?0 解析：由S6?S7?S5可知a7?0,a6?0，故d?0； 由Sn有最大值，且与Sn相对应的二次函数的对称轴在区间(又S0?0，所以S13?0，故选D。

例12、在等差数列{an}中，7a5?5a9?0，且a9?a5，则使数列前n项和是Sn取最小值的n等于_______。

解析：传统解法是3a1?17d?0得3(a1?所以a6?0,a7?0，即n?6

但若注意到等差数列中an是一次函数，则由一次函数的线性特征

1113,)内 2217d)?0，再由a9?a5知d?0 3