数学初中竞赛大题训练：几何专题
1．阅读理解：
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C，D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC＝180°，则A，B，
C，D四点共圆．
（1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝ 55° ； （2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE的长；
（3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的长． 解：（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°， ∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°， 故答案为：55°；
（2）在线段CA取一点F，使得CF＝CD，如图2所示： ∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB， ∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°， ∴∠AFD＝135°， ∵BE⊥AB，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°， ∴∠AFD＝∠DBE， ∵AD⊥DE，
1
∴∠ADE＝90°，
∵∠FAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°， ∴∠FAD＝∠BDE， 在△ADF和△DEB中，∴△ADF≌△DEB（ASA）， ∴AD＝DE， ∵∠ADE＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝
，
AD＝2；
（3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示： ∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°， ∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆， ∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°， ∴△ABK是等边三角形，
∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，则M为AB的中点， ∴KM＝AK?sin60°＝2
，
∵AE＝3，AM＝AB＝2， ∴ME＝3﹣2＝1， ∴EK＝
＝
＝
，
∴EF＝＝＝．
2
2．问题再现：
如图1：△ABC中，AF为BC边上的中线，则S△ABF＝S△ACP＝S△ABC 由这个结论解答下列问题： 问题解决：
问题1：如图2，△ABC中，CD为AB边上的中线，BE为AC边上的中线，则S△BOC＝S四边形
ADOE．
分析：△ABC中，CD为AB边上的中线，则S△BCD＝S△ABC，BE为AC边上的中线，则S△ABE＝S△ABC ∴S△BCD＝S△ABE
∴S△BCD﹣S△BOD＝S△ABE﹣S△BOD
又∵S△BOC＝S△BCD﹣S△BOD，S四边形ADOE＝S△ABE﹣S△BOD 即S△BOC＝S四边形ADOE
问题2：如图3，△ABC中，CD为AB边上的中线，BE为AC边上的中线，AF为BC边上的中线．
（1）S△BOD＝S△COE吗？请说明理由．
（2）请直接写出△BOD的面积与△ABC的面积之间的数量关系：S△BOD＝ 问题拓广：
（1）如图4，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC的中点，请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD的面积之间的数量关系：S阴＝
S四边形ABCD．
S△ABC．
（2）如图5，E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AD、BC、AB、CD的中点，请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD的面积之间的数量关系：S阴＝
S四边形ABCD．
（3）如图6，E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AD、BC、AB、CD的中点， 若S△AME＝1、S△BNG＝1.5、S△CQF＝2、S△DPH＝2.5，则S阴＝ 7 ．
3
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