b+1+1.5＝b+2.5＝S△ABD③， d+2+2.5＝d+4.5＝S△BCD④，
①+②+③+④得，a+3.5+c+3.5+b+2.5+d+4.5＝a+b+c+d+14＝S四边形ABCD⑤ 而S四边形ABCD＝a+b+c+d+7+S阴影⑥ ∴S阴影＝7， 故答案为7．
3．如图，在△ABC中，AB＞AC，内切圆⊙I与边BC切于点D，AD与⊙I的另一个交点为E，⊙I的切线EP与BC的延长线交于点P，CF∥PE且与AD交于点F，直线BF与⊙I交于点
M、N，M在线段BF上，线段PM与⊙I交于另一点Q．证明：∠ENP＝∠ENQ．
证明：如图，设⊙I与AC、AB分别切于点S、T，连接ST、AI、IT，设ST与AI交于点G．
则IE⊥PE，ID⊥PD，故I、E、P、D四点共圆， ∵AS2＝AE?AD＝AG?AI， ∵∠EAG＝∠DAI， ∴△AEG∽△AID，
6
∴∠AGE＝∠AID， ∴E，G，D，I四点共圆， ∴I、G、E、P、D五点共圆， ∴∠IGP＝∠IEP＝90°，即IG⊥PG， ∴P、S、T三点共线，
对直线PST截△ABC，由梅涅劳斯定理知∵AS＝AT，CS＝CD，BT＝BD， ∴
，
，
，
设BN的延长线与PE交于点H，对直线BFH截△PDE，由梅涅劳斯定理知∵CF∥BE， ∴∴
∴PH＝HE，
∴PH2＝HE2＝HM?HN， ∴
， ，
，
∴△PHN∽△MHP， ∴∠HPN＝∠HMP＝∠NEQ， ∵∠PEN＝∠EQN， ∴∠ENP＝∠ENQ．
4．如图，△ABC的垂心为H，AD⊥BC于D，点E在△ABC的外接圆上，且满足线ED交外接圆于点M．求证：∠AMH＝90°．
，直
7
证明：作高BP，CQ．连结MB、MC、MP、MQ、PQ． ＝
＝＝?①
＝?＝＝
?②
由①②得：，
又∵∠MBA＝∠MCA， ∴△MBQ∽△MCP，
∴点M、A、P、Q四点共圆，即点M、A、P、Q、H五点共圆， 又AH为直径， ∴∠AMH＝90°．
5．如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N．求证：OH⊥MN．
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证明：∵A、C、D、F四点共圆， ∴∠BDF＝∠BAC
又∵∠OBC＝（180°﹣∠BOC）＝90°﹣∠BAC， ∴OB⊥DF． ∵CF⊥MA，
∴MC2﹣MH2＝AC2﹣AH2（①） ∵BE⊥NA，
∴NB2﹣NH2＝AB2﹣AH2 （②） ∵DA⊥BC，
∴BD2﹣CD2＝BA2﹣AC2 （③） ∵OB⊥DF，
∴BN2﹣BD2＝ON2﹣OD2 （④） ∵OC⊥DE，
∴CM2﹣CD2＝OM2﹣OD2，
①﹣②+③+④﹣⑤，得NH2﹣MH2＝ON2﹣OM2 MO2﹣MH2＝NO2﹣NH2 ∴OH⊥MN．
6．在图1到图4中，已知△ABC的面积为m．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D使CD＝BC，连接DA，若△ACD的面积为S1，则
S1＝ m ．（用含m的式子表示）
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接
DE．若△DEC的面积为S2，则S2＝ 2m ．（用含a的代数式表示）
（3）如图3，在图2的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD于E，得到△DEF，若阴影部分的面积为S3，则S3＝ 6m ．（用含a的代数式表示）
（4）可以发现将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF，如图3，此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 7 倍．
（5）应用上面的结论解答下面问题：
去年在面积为15平方面的△ABC空地上栽种了各种花卉，今年准备扩大种植规模，把△
ABC内外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH，如
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图4，求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？
解：（1）∵CD＝BC，
∴△ABC和△ACD的面积相等（等底同高）， 故得出结论S1＝m．
（2）连接AD，，
∵AE＝CA，
∴△DEC的面积S2为△ACD的面积S1的2倍， 故得出结论S2＝2m．
（3）结合（1）（2）得出阴影部分的面积为△DEC面积的3倍， 故得出结论则S3＝6m． （4）S△DEF＝S阴影+S△ABC ＝S3+S△ABC ＝6m+m ＝7m ＝7S△ABC
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