故得出结论扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的7倍．
（5）根据（4）结论可得两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为（7×7﹣1）×15＝720（平方米），
答：求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为720平方米．
7．（1）如图①，AD是△ABC的中线，△ABD与△ACD的面积有怎样的数量关系？为什么？ （2）若三角形的面积记为S，例如：△ABC的面积记为S△ABC，如图②，已知S△ABC＝1，△ABC的中线AD、CE相交于点O，求四边形BDOE的面积． 小华利用（1）的结论，解决了上述问题，解法如下： 连接BO，设S△BEO＝x，S△BDO＝y， 由（1）结论可得：S S△BCO＝2S△BDO＝2y， S△BAO＝2S△BEO＝2x．
，
则有，即．
所以
请仿照上面的方法，解决下列问题：
．
①如图③，已知S△ABC＝1，D、E是BC边上的三等分点，F、G是AB边上的三等分点，AD、
CF交于点O，求四边形BDOF的面积．
②如图④，已知S△ABC＝1，D、E、F是BC边上的四等分点，G、H、I是AB边上的四等分点，AD、CG交于点O，则四边形BDOG的面积为
．
11
解：（1）S△ABD＝S△ACD． ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD，
又∵△ABD与△ACD高相等， ∴S△ABD＝S△ACD．
（2）①如图3，连接BO，设S△BFO＝x，S△BDO＝y，
S△BCF＝S△ABD＝S△ABC＝ S△BCO＝3S△BDO＝3y， S△BAO＝3S△BFO＝3x．
则有，即，
所以x+y＝，即四边形BDOF的面积为； ②如图，连接BO，设S△BDO＝x，S△BGO＝y，
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S△BCG＝S△ABD＝S△ABC＝， S△BCO＝4S△BDO＝4x， S△BAO＝4S△BGO＝4y．
则有，即，
所以x+y＝故答案为：
，即四边形BDOG的面积为．
，
8．我们初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式．
【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证：13+23＝32？ 【解决问题】
A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23 而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形． 由此可得：13+23＝32
【递进探究】请仿用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33＝ 62 ． 要求：自己构造图形并写出详细的解题过程．
【推广探究】请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝
．
（参考公式：
）
注意：只需填空并画出图形即可，不必写出解题过程．
【提炼运用】如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，
13
如图（1）中，共有1个小立方体，其中1个看的见，0个看不见； 如图（2）中，共有8个小立方体，其中7个看的见，1个看不见； 如图（3）中，共有27个小立方体，其中19个看的见，8个看不见；
求：从第（1）个图到第（101）个图中，一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数．
解：【递进探究】
如图，A表示一个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，
B、C、D表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23， E、F、G表示3个3×3的正方形，即：3×3×3＝33，
而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个大正方形，边长为：1+2+3＝6， ∵SA+SB+SC+SD+SE+SF+SG＝S大正方形， ∴13+23+33＝62； 【推广探究】
由上面表示几何图形的面积探究知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2， 又∵1+2+3+…+n＝∴13+23+33+…+n3＝（【提炼运用】
图（1）中，共有1个小立方体，其中1个看的见，0＝（1﹣1）3个看不见； 如图（2）中，共有8个小立方体，其中7个看的见，1＝（2﹣1）3个看不见； 如图（3）中，共有27个小立方体，其中19个看的见，8＝（3﹣1）3个看不见；
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， ）2＝
．
…，
从第（1）个图到第（101）个图中，一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为：（1﹣1）3+（2﹣1）3+（3﹣1）3+…+（101﹣1）3＝03+13+23+…+1003＝50502＝25502500． 故一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为25502500． 故答案为：62；
．
9．问题引入：如图，在△ABC中，D是BC上一点，AE＝AD，求：
尝试探究：过点A作BC的垂线，垂足为F，过点E作BC的垂线，垂足为G，如图所示，有
＝
，
＝
，
．
与S△ABC的比是图中哪条线
类比延伸：若E为AD上的任一点，如图所示，试猜S段的比，并加以证明．
四边形ABEC拓展应用：如图，E为△ABC内一点，射线AE于BC于点D，射线BE交AC于点F，射线
CE交AB于点G，求的值．
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