故得出结论扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的7倍.
(5)根据(4)结论可得两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为(7×7﹣1)×15=720(平方米),
答:求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为720平方米.
7.(1)如图①,AD是△ABC的中线,△ABD与△ACD的面积有怎样的数量关系?为什么? (2)若三角形的面积记为S,例如:△ABC的面积记为S△ABC,如图②,已知S△ABC=1,△ABC的中线AD、CE相交于点O,求四边形BDOE的面积. 小华利用(1)的结论,解决了上述问题,解法如下: 连接BO,设S△BEO=x,S△BDO=y, 由(1)结论可得:S S△BCO=2S△BDO=2y, S△BAO=2S△BEO=2x.
,
则有,即.
所以
请仿照上面的方法,解决下列问题:
.
①如图③,已知S△ABC=1,D、E是BC边上的三等分点,F、G是AB边上的三等分点,AD、
CF交于点O,求四边形BDOF的面积.
②如图④,已知S△ABC=1,D、E、F是BC边上的四等分点,G、H、I是AB边上的四等分点,AD、CG交于点O,则四边形BDOG的面积为
.
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解:(1)S△ABD=S△ACD. ∵AD是△ABC的中线, ∴BD=CD,
又∵△ABD与△ACD高相等, ∴S△ABD=S△ACD.
(2)①如图3,连接BO,设S△BFO=x,S△BDO=y,
S△BCF=S△ABD=S△ABC= S△BCO=3S△BDO=3y, S△BAO=3S△BFO=3x.
则有,即,
所以x+y=,即四边形BDOF的面积为; ②如图,连接BO,设S△BDO=x,S△BGO=y,
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S△BCG=S△ABD=S△ABC=, S△BCO=4S△BDO=4x, S△BAO=4S△BGO=4y.
则有,即,
所以x+y=故答案为:
,即四边形BDOG的面积为.
,
8.我们初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.例如:平方差公式、完全平方公式.
【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证:13+23=32? 【解决问题】
A表示1个1×1的正方形,即:1×1×1=13
B表示1个2×2的正方形,C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形,
因此:B、C、D就可以表示2个2×2的正方形,即:2×2×2=23 而A、B、C、D恰好可以拼成一个(1+2)×(1+2)的大正方形. 由此可得:13+23=32
【递进探究】请仿用上面的表示几何图形面积的方法探究:13+23+33= 62 . 要求:自己构造图形并写出详细的解题过程.
【推广探究】请用上面的表示几何图形面积的方法探究:13+23+33+…+n3=
.
(参考公式:
)
注意:只需填空并画出图形即可,不必写出解题过程.
【提炼运用】如图,下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的,
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如图(1)中,共有1个小立方体,其中1个看的见,0个看不见; 如图(2)中,共有8个小立方体,其中7个看的见,1个看不见; 如图(3)中,共有27个小立方体,其中19个看的见,8个看不见;
求:从第(1)个图到第(101)个图中,一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数.
解:【递进探究】
如图,A表示一个1×1的正方形,即:1×1×1=13,
B、C、D表示2个2×2的正方形,即:2×2×2=23, E、F、G表示3个3×3的正方形,即:3×3×3=33,
而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个大正方形,边长为:1+2+3=6, ∵SA+SB+SC+SD+SE+SF+SG=S大正方形, ∴13+23+33=62; 【推广探究】
由上面表示几何图形的面积探究知,13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2, 又∵1+2+3+…+n=∴13+23+33+…+n3=(【提炼运用】
图(1)中,共有1个小立方体,其中1个看的见,0=(1﹣1)3个看不见; 如图(2)中,共有8个小立方体,其中7个看的见,1=(2﹣1)3个看不见; 如图(3)中,共有27个小立方体,其中19个看的见,8=(3﹣1)3个看不见;
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, )2=
.
…,
从第(1)个图到第(101)个图中,一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为:(1﹣1)3+(2﹣1)3+(3﹣1)3+…+(101﹣1)3=03+13+23+…+1003=50502=25502500. 故一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为25502500. 故答案为:62;
.
9.问题引入:如图,在△ABC中,D是BC上一点,AE=AD,求:
尝试探究:过点A作BC的垂线,垂足为F,过点E作BC的垂线,垂足为G,如图所示,有
=
,
=
,
.
与S△ABC的比是图中哪条线
类比延伸:若E为AD上的任一点,如图所示,试猜S段的比,并加以证明.
四边形ABEC拓展应用:如图,E为△ABC内一点,射线AE于BC于点D,射线BE交AC于点F,射线
CE交AB于点G,求的值.
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