∴K、C、E、H、F五点共圆， ∴C、E、F、K四点共圆．
13．在半圆O中，AB为直径，一直线交半圆周于C、D，交AB延长线于M（MB＜MA，AC＜MD），设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点，求证：∠MKO＝90°．
证明：连接CK，BK，BC，如图所示． ∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠OAC+∠ABC＝90°． ∵A、B、C、D四点共圆， ∴∠BDC＝∠BAC． ∵A、O、C、K四点共圆， ∴∠CKO＝∠OAC． ∵D、O、B、K四点共圆， ∴∠BKO＝∠BDO．
∴∠BKC＝∠BKO﹣∠CKO＝∠BDO﹣∠OAC． ∵OB＝OD，
21
∴∠ABD＝∠BDO．
∴∠BMC＝∠ABD﹣∠BDC＝∠BDO﹣∠BAC＝∠BKC． ∴B、C、K、M四点共圆． ∴∠ABC＝∠MKC．
∴∠MKO＝∠MKC+∠CKO＝∠ABC+∠OAC＝90°．
14．已知，在△ABC中，AC＞AB，BC边的垂直平分线与∠BAC的外角∠PAC的平分线相交于
E，与BC相交点D，DE与AC相交于点F．
（1）如图1，当∠ABC＝3∠ACB时，求证：AB＝AE；
（2）如图2，当∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠ACB，过点D作AC的垂线，垂足为点H，并延长DH交射线AE于点M，过点E作BP的垂线，垂足为点G，点D1是点D关于直线AC的对称点，试探究AG和MD1之间的数量关系，并证明你的结论． 解：（1）证明：连接BF，如图1． 设∠ACB＝x，则∠ABC＝3x， ∵FD垂直平分BC， ∴FB＝FC，
∴∠FBC＝∠FCB＝x， ∴∠ABF＝∠AFB＝2x， ∴AB＝AF，∠PAC＝4x． ∵AE平分∠PAC， ∴∠EAC＝2x．
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∵∠AFE＝∠DFC＝90°﹣x，
∴∠AEF＝180°﹣∠EAF﹣∠AFE＝180°﹣2x﹣（90°﹣x）＝90°﹣x， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∴AB＝AE．
（2）AG＝MD1．
证明：作EN⊥AC于N，取EC中点O， 连接AD1、NM、MC、MO、NO、EB、EC，如图2． ∵AE平分∠PAC，EN⊥AC，EG⊥AP， ∴EG＝EN，∠EGA＝∠ENA＝90°．
∵∠BAC＝90°，∴∠EGA＝∠ENA＝∠BAC＝90°， ∴四边形EGAN是矩形．
∵EG＝EN，∴矩形EGAN是正方形， ∴AG＝AN，∠EAN＝45°，∠GEN＝90°． ∵ED垂直平分BC，∴EB＝EC． 在Rt△BEG和Rt△CEN中，
，
∴Rt△BEG≌Rt△CEN（HL）， ∴∠GBE＝∠NCE，∠GEB＝∠NEC， ∴∠GEN＝∠BEC＝90° ∵EB＝EC，
∴∠ECB＝∠EBC＝45°． ∵∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠ACB， ∴∠ABC＝60°，∠ACB＝30°， ∴∠ABE＝∠ACE＝15°． ∵∠BAC＝90°，点D为BC中点， ∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝30°．
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∵点D与点D1关于AC对称， ∴∠D1AC＝∠DAC＝30°， ∴∠MAD1＝45°﹣30°＝15°． ∵DA＝DC，DM⊥AC， ∴DM垂直平分AC， ∴MA＝MC，
∴∠CMH＝∠AMH＝90°﹣45°＝45°，∴∠AMC＝90°， ∴∠ENC＝∠AMC＝90°． ∵点O为EC中点， ∴ON＝OM＝OE＝OC＝EC， ∴E、N、C、M四点共圆， ∴∠EMN＝∠ECN＝15°， ∴∠MAD1＝∠EMN＝15°， 在△AMN和△MAD1中，
，
∴△AMN≌△MAD1， ∴AN＝MD1， ∴AG＝MD1．
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15．在平面直角坐标系中，已知A（2，2），AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C．
（1）如图1，E为线段OB上一点，连接AE，过A作AF⊥AE交x轴于F，连EF，ED平分∠OEF交OA于D，过D作DG⊥EF于G，求DG+EF的值；
（2）如图2，D为x轴上一点，AC＝CD，E为线段OB上一动点，连接DA、CE、F是线段
CE的中点，若BF⊥FK交AD于K，请问∠KBF的大小是否变化？若不变，求其值；若改变，
求其变化范围．
解：（1）∵AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C， ∴∠ABO＝∠ACO＝90°． ∵∠BOC＝90°， ∴四边形ABOC是正方形，
∴AB＝AC＝BO＝CO＝2，OA平分∠BOC，∠BAC＝90°． ∵AF⊥AE， ∴∠EAF＝90°， ∴∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC， 即∠BAE＝∠CAF． 在△ABE和△ACF中，
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