，
∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴AE＝AF，BE＝CF．
设BE＝CF＝t，OE＝2﹣t，OF＝2+t． ∵ED平分∠OEF， ∴点D是△OEF的内心．
如图1，作DM⊥OB于M，作DH⊥OF于H，且DG⊥EF于G， ∴DG＝DM＝DH，
∴四边形MOHD是正方形， ∴MO＝HO＝DM＝DG． 设DG＝MO＝x， ∴x＝∴x＝
∴EF＝4﹣2x， ∴WF＝2﹣x． ∴DG+EF＝x+2﹣x＝2． 即DG+EF的值为2；
（2）∠KBF的大小不变，∠KBF＝45°
如图2，延长BF交AC于G，连接KG，作KM⊥AB于M，KN⊥AC于N， ∵四边形ABOC是正方形， ∴OB∥AC．
∴∠EBF＝∠CGF，∠BEF＝∠GCF． ∵F是CE的中点， ∴EF＝CF．
在△BEF和△GCF中，
， ，
26
，
∴△BEF≌△GCF（AAS）， ∴BF＝GF． ∵BF⊥FK，
∴∠BFK＝∠GFK＝90°． 在△BFK和△GFK中，
，
∴△BFK≌△GFK（SAS） ∴BK＝GK．
∵AC＝CD，∠ACD＝90°， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴∠CAD＝45°． ∵KN⊥AC， ∴∠ANK＝90°， ∴∠AKN＝45°， ∴AN＝KN． ∵KM⊥AB，
∴四边形AMKN是正方形，
∴KM＝KN．∠M＝∠GNK＝90°AM∥KN．在Rt△BKM和Rt△GKN中，
，
∴Rt△BKM≌Rt△GKN（HL）， ∴∠MBK＝∠NGK．∠GKN＝∠BKM． ∵AM∥KN， ∴∠BKN＝∠MBK． ∵∠BKM+∠BKN＝90°， ∴∠GKN+∠BKN＝90°，
27
即∠BKG＝90°． ∵BK＝GK，
∴△BKG是等腰直角三角形． ∴∠KBF＝45°，
∴∠KBF的大小不变，∠KBF＝45°．
16．如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，直线MN⊥AB于A，且分别与⊙O1，⊙O2交于
M、N，P为线段MN的中点，又∠AO1Q1＝∠AO2Q2，求证：PQ1＝PQ2．
解：连接MQ1、BQ1、BQ2、NQ2，过点P作PH⊥Q1B于H，如图所示． 则由圆内接四边形的性质可得：
∠Q1MA+∠ABQ1＝180°，∠ABQ2+∠ANQ2＝180°，∠MAB＝∠BQ2N． 由圆周角定理可得：
28
∠ABQ1＝∠AO1Q1，∠ANQ2＝∠AO2Q2． ∵∠AO1Q1＝∠AO2Q2， ∴∠ABQ1＝∠ANQ2，
∴∠ABQ2+∠ABQ1＝∠ABQ2+∠ANQ2＝180°， ∴Q1、B、Q2三点共线．
由圆内接四边形的性质可得：∠ABQ1＝∠ANQ2， ∴∠Q1MA+∠ANQ2＝∠Q1MA+∠ABQ1＝180°， ∴MQ1∥NQ2． ∵AB⊥MN， ∴∠MAB＝90°，
∴∠Q1Q2N＝∠MAB＝90°． ∵PH⊥Q1B，即∠Q1HP＝90°， ∴∠Q1HP＝∠Q1Q2N， ∴PH∥NQ2， ∴MQ1∥PH∥NQ2． ∵P为线段MN的中点， ∴H为线段Q1Q2的中点， ∴PH垂直平分Q1Q2， ∴PQ1＝PQ2．
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