2019年全国I卷高考文科数学真题及答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学·参考答案

一、选择题 1．C 7．D

2．C 8．B

3．B 9．A

4．B

5．D

6．C 12．B

10．D 11．A

二、填空题 13．y=3x 三、解答题 17．解：

（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为率的估计值为0.8．

女顾客中对该商场服务满意的比率为

14．

5 815．?4

16．2

40?0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概5030 ?0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．

50100?(40?20?30?10)2?4.762． （2）K?50?50?70?302由于4.762?3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 18．解：

（1）设?an?的公差为d． 由S9??a5得a1?4d?0． 由a3=4得a1?2d?4． 于是a1?8,d??2．

因此?an?的通项公式为an?10?2n．

（2）由（1）得a1??4d，故an?(n?5)d,Sn?2n(n?9)d. 2an等价于n?11n?10?0，解得1≤n≤10． 由a1?0知d?0，故Sn…n10,n?N}． 所以n的取值范围是{n|1剟19．解：

（1）连结B1C,ME.因为M，E分别为BB1,BC的中点，所以ME ∥ B1C，且ME?1B1C.又因为N2为A1D的中点，所以ND?1A1D. 2∥∥D，由题设知A，可得BC故ME∥因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED.1B1=DC1=A1=ND，

又MN?平面C1DE，所以MN∥平面C1DE. （2）过C作C1E的垂线，垂足为H.

由已知可得DE?BC，DE?C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH. 从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离， 由已知可得CE=1，C1C=4，所以C1E?17，故CH?417. 17从而点C到平面C1DE的距离为417. 17

20．解：

（1）设g(x)?f?(x)，则g(x)?cosx?xsinx?1,g?(x)?xcosx. 当x?(0,)时，g?(x)?0；当x??调递减. 又g(0)?0,g?π2π?π??π?,π?时，g?(x)?0，所以g(x)在(0,)单调递增，在?,π?单

2?2??2??π???0,g(π)??2，故g(x)在(0,π)存在唯一零点. 2??所以f?(x)在(0,π)存在唯一零点.

（2）由题设知f(π)…aπ,f(π)?0，可得a≤0.

由（1）知，f?(x)在(0,π)只有一个零点，设为x0，且当x??0,x0?时，f?(x)?0；当x??x0,π?时，

f?(x)?0，所以f(x)在?0,x0?单调递增，在?x0,π?单调递减.

又f(0)?0,f(π)?0，所以，当x?[0,π]时，f(x)…0. 又当a?0,x?[0,π]时，ax≤0，故f(x)…ax. 因此，a的取值范围是(??,0].

21．解：（1）因为eM过点A,B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上，且A,B关

于坐标原点O对称，所以M在直线y?x上，故可设M(a, a). 因为eM与直线x+2=0相切，所以eM的半径为r?|a?2|.

uuuuruuur22由已知得|AO|=2，又MO?AO，故可得2a?4?(a?2)，解得a=0或a=4.

故eM的半径r=2或r=6.

（2）存在定点P(1,0)，使得|MA|?|MP|为定值. 理由如下：

设M(x, y)，由已知得eM的半径为r=|x+2|,|AO|=2.

uuuuruuur2222由于MO?AO，故可得x?y?4?(x?2)，化简得M的轨迹方程为y?4x.

因为曲线C:y?4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x??1为准线的抛物线，所以|MP|=x+1. 因为|MA|?|MP|=r?|MP|=x+2?(x+1)=1，所以存在满足条件的定点P.

21?t24t2?y??1?t?2?1，且x?????22．解：（1）因为?1???1，所以C的直角坐标方程为222?21?t?2??1?t??1?t?222y2x??1(x??1).

42l的直角坐标方程为2x?3y?11?0.

（2）由（1）可设C的参数方程为??x?cos?,（?为参数，?π???π）.

?y?2sin?π??4cos?????11|2cos??23sin??11|3???C上的点到l的距离为.

77当???π?2π?时，4cos?????11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.

3?3?22222223．解：（1）因为a?b?2ab,b?c?2bc,c?a?2ac，又abc?1，故有

a2?b2?c2?ab?bc?ca?所以

ab?bc?ca111???.

abcabc111???a2?b2?c2. abc（2）因为a, b, c为正数且abc?1，故有

(a?b)3?(b?c)3?(c?a)3?33(a?b)3(b?c)3(a?c)3 =3(a+b)(b+c)(a+c)

?3?(2ab)?(2bc)?(2ac)

=24.

所以(a?b)?(b?c)?(c?a)?24.

333