q1q2e29F2???1.92?10N 224πε0r3πε0aF2 方向如图所示.
5 －9 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为
E?1Q
πε04r2?L2(2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为
E?1Q 222πε0r4r?L若棒为无限长(即L→∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.
分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元dx，其电荷为dq ＝Qdx/L，它在点P 的电场强度为
dE?整个带电体在点P 的电场强度
1dqe 2r4πε0r?E??dE
接着针对具体问题来处理这个矢量积分.
(1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同，
E??dEi
L(2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A)所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是
E??dEyj??sinαdEj
L证 (1) 延长线上一点P 的电场强度E?r －x统一积分变量，则
dq?L2πε0r?2，利用几何关系 r′＝
EP??1QdxQ?11?1Q???22-L/24πεL?r?x?24πε0L??r?L/2r?L/2??πε04r?L0L/2电场强度的方向沿x 轴.
(2) 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为
E??sinαdqdE
L4πεr?20利用几何关系 sin α＝r/r′，r??r2?x2 统一积分变量，则
E??1rQdx22-L/24πε0Lx?rL/2??2/3?Q1
2πε0r4r2?L2当棒长L→∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度
E?liml??1Q/L2πε0r1?4r2/L2 ?λ2πε0r
此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B)］.这说明只要满足r2/L2 ＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线.
5 －10 一半径为R 的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心
处电场强度的大小.
分析 这仍是一个连续带电体问题，求解的关键在于如何取电荷元.现将半球壳分割为一组平行的细圆环，如图所示，从教材第5 －3 节的例1 可以看出，所有平行圆环在轴线上P 处的电场强度方向都相同，将所有带电圆环的电场强度积分，即可求得球心O 处的电场强度.
解 将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元
dq?δdS?δ?2πR2sinθdθ，在点O 激发的电场强度为
dE?1xdq4πε0x2?r2??2/3i
由于平行细圆环在点O 激发的电场强度方向相同，利用几何关系
x?Rcosθ，r?Rsinθ统一积分变量，有
dE?1xdq1Rcosθ2?δ?2πRsinθdθ2/33224πε0x?r4πε0R
δ ?sinθcosθdθ2ε0??积分得 E??π/20δδsinθcosθdθ? 2ε04ε05 －11 水分子H2O 中氧原子和氢原子的等效电荷中心如图所示，假设氧原子和氢原子等效电荷中心间距为r0 .试计算在分子的对称轴线上，距分子较远处的电场强度.
分析 水分子的电荷模型等效于两个电偶极子，它们的电偶极矩大小均为
P0?er0，而夹角为2θ.叠加后水分子的电偶极矩大小为P?2er0cosθ，方
向沿对称轴线，如图所示.由于点O 到场点A 的距离x ＞＞r0 ，利用教材第5 －3 节中电偶极子在延长线上的电场强度
E?12p 34πε0x可求得电场的分布.也可由点电荷的电场强度叠加，求电场分布. 解1 水分子的电偶极矩P?2P0cosθ?2er0cosθ在电偶极矩延长线上
E?12p14er0cosθ1er0cosθ ??3334πε0x4πε0xπε0x解2 在对称轴线上任取一点A，则该点的电场强度
E?E??E?
E?2E?cosβ?E?2ercosθ2e ?224πε0r4πε0x由于 r2?x2?r02?2xr0cosθ
cosβ?代入得
x?r0cosθ r
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