体表面，电场强度的通量为零，即ΦOABC?ΦDEFG?0.而
ΦABGF??E?dS????E1?kx?i?E2j???dSj??E2a2
考虑到面CDEO 与面ABGF 的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有
ΦCDEO??ΦABGF??E2a2
同理 ΦAOEF?E?dS??2??????Ei?Ej??dSi??Ea 121?ΦBCDG??E?dS????E1?ka?i?E2j???dSi???E1?ka?a2
因此，整个立方体表面的电场强度通量
Φ??Φ?ka3
5 －16 地球周围的大气犹如一部大电机，由于雷雨云和大气气流的作用，在晴天区域，大气电离层总是带有大量的正电荷，云层下地球表面必然带有负电荷.晴天大气电场平均电场强度约为120V?m?1，方向指向地面.试求地球表面单位面积所带的电荷(以每平方厘米的电子数表示).
分析 考虑到地球表面的电场强度指向地球球心，在大气层中取与地球同心的球面为高斯面，利用高斯定理可求得高斯面内的净电荷.
解 在大气层临近地球表面处取与地球表面同心的球面为高斯面，其半径
R?RE(RE为地球平均半径).由高斯定理
2?E?dS??E4πRE?1?q ε0地球表面电荷面密度
2σ??q/4πRE??ε0E??1.06?10?9cm?2
单位面积额外电子数
n?σ/?e?6.63?105cm?2
5 －17 设在半径为R 的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为
?0?r?R?ρ?kr
?r?R?ρ?0 k为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E与r的函数关系.
分析 通常有两种处理方法：(1) 利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有
2E?dS?E?4πr ?S根据高斯定理E?dS??1ρdV，可解得电场强度的分布. ?ε0(2) 利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为dq?ρ?4πr?2dr?，每个带电球壳在壳内激发的电场dE?0，而在球壳外激发的电场
dE?dqe 2r4πε0r由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布
?0?r?R?E?r???dE 0r?r?R?E?r???dE 0R
解1 因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理E?dS??1ρdV得球体内(0≤r≤R) ε0?
E?r?4πr2?1rπk42kr4πrdr?r ε0?0ε0kr2E?r??er
4ε0球体外(r ＞R)
1Rπk4E?r?4πr??kr4πr2dr?r
ε00ε02kR2E?r??er
4ε0解2 将带电球分割成球壳，球壳带电
dq?ρdV?kr?4πr?2dr?
由上述分析，球体内(0≤r≤R)
1kr??4πr?2dr?kr2E?r???er?er 204πεr4ε00r球体外(r ＞R)
E?r???R01kr??4πr?2dr?kR2er?er
4πε0r24ε0r25 －18 一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为σ，在平板中部有一半径为r 的小圆孔.求圆孔中心轴线上与平板相距为x 的一点P 的电场强度.
分析 用补偿法求解利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场.本题的电场分布虽然不具有这样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布.若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷(电荷面密度σ′＝－σ)的小圆盘.这样中心轴线上的电场强度等效于平板和小圆盘各自独立在该处激发电场的矢量和. 解 由教材中第5 －4 节例4 可知，在无限大带电平面附近
E1?σen 2ε0en为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场
E2??它们的合电场强度为
σ?x?1?2ε0?x2?r2?σ2ε0x???en ?E?E1?E2?在圆孔中心处x ＝0，则
x?r22en
E ＝0
在距离圆孔较远时x ＞＞r，则
E?σ1en2ε01?r2/x2σ?en2ε0略不计.
上述结果表明，在x ＞＞r 时，带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽5 －19 在电荷体密度为ρ 的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O 指向球形空腔球心O′的矢量用a 表示(如图所示).试证明球形空腔中任一点的电场强度为
E?ρa 3ε0
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