(文献综述)几个一阶微分方程解法之间的关系

新疆农业大学

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几个一阶微分方程解法之间的关系 盛园甲 数理学院 数学与应用数学 052班 054131215 刘书新 职称: 讲师 2008 年 12 月29 日

新疆农业大学教务处制

几个一阶微分方程解法之间的关系

作者：盛园甲 指导教师：刘书新

摘要：本文主要介绍了可分离变量方程，一阶线性方程，恰当方程的解法，和它们解法之间的关系。

关键词：可分离变量方程，恰当方程，积分因子法。

引言：

随着常微分方程在实际生产、生活中表现出重要的应用性,因此研究常微分方程的解题方法也变得十分必要。一般的一阶方程是没有初等解法的，本文就在与介绍若干有初等解法的方程类型和求解的方法，及它们解法之间的关系， 在文献[1]中给出了三种常见的常微分方程及其解法： 一：可分离变量方程 形如

dy?f(x)?(y) (1.1) dx的方程，称为可分离变量方程，这里f(x)，?(y)分别是x,y的连续函数。 现在说明方程(1.1)的求解方法。 如果?（y）?0,我们可将(1.1)写成

dy?f(x)dx dx这样，变量就“分离”开来了，两边分别积分，得到

dy??(y)??f(x)dx?c (1.2)

dy1，?f(x)dx分别理解为，f(x)?(y)?(y)的某一个原函数，如无特别声明，以后也做这样的理解。

这里我们把积分常数c明确写出来，而把?把(1.2)作为确定y是x的隐函数的关系式，于是，对于任一常数c，微分(1.2)的两边，就知(1.2)所确定的隐函数y=y(x,c)满足方程(1.1)，因而(1.2)是(1.1)的通解。

如果存在?(y0)?0，直接带入，可知y=y0也是(1.1)的解。 二：一阶线性方程

一阶线性微分方程可以写成

dy?p(x)y??(x) （2.1） dx这里p(x)，?(x)是x的连续函数。

若?(x)?0，则（2.1）变为

dy?p(x)y （2.2） dx

（2.2）称为一阶线性齐次方程；

若?(x)?0，则称（2.1）为一阶非齐次方程。

（2.2）是变量分离方程，可用求变量分离方程解的方法求的通解为

y?ce?这里c是任意常数。

p(x)dx (2.3)

现在讨论非齐次线性方程（2.1）的通解的求法。不难看出，（2.2）是（2.1）的特殊形式，两者既有联系又有区别，因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有区别。我们试图利用方程（2.2）的通解（2.3）的形式去求方程（2.1）通解，显然（2.3）中c恒保持为常数，它必不可能是（2.1）的解，我们设想：（2.3）中，将常数c变易为待定函数c(x)， 使它满足方程（2.1），从而求得c(x)。 为此，令

y?c(x)e?p(x)dx (2.4)

微分得

dydc(x)?p(x)dx (2.5) ?edxdx

将(2.4)，(2.5)代入(2.1)，得到 从而

?p(x)dxdc(x)?Q(x)e? dxp(x)dxp(x)dxdc(x)?p(x)dxe?c(x)p(x)e??p(x)c(x)e??Q(x) (2.6) dx 积分后即可求得

c(x)??Q(x)e??p(x)dxdx?c1 (2.7)