f??(x)f(x) - 凹 0 拐点 + 凸 0 拐点 - 凹 1所以凹区间为(??,0)?(1,??) 凸区间为(0,) 221拐点为（0，0）和(1,) 2167、 求函数y?x参考答案：
2?2x的单调区间、极值点
定义域为(??,0)?(0,??)． 由
2x3?1y??2x?2?22xx，令y??0得驻点x?1，列表给出
１ ０ 极小值3 单调区间及极值点： x (??,0) y?(0,1)(1,??) － ]— ]＋ Zf(x) 所以，函数的单调递减区间为(??,0)，(0,1]，单调递增区间为[1,??)，极小值点为(1,3) 8、 求由y=A=1x,y=x,x=2所围图形的面积
xdx)=74-233参考答案：
(x-x)dx+蝌021(x-
9、设
?1?x2f(x)???x?ex?0x?0，求?31f(x?2)dx．
参考答案：
方法一：先作变量代换 ?f(x?2)dx??f(t)dt??3x?2?t11?10?1(1?t2)dt??e?tdt01
1?[t?t3]30?1?e?t10?4?17?e?1??e?133． ，于是
方法二：先给出
?3211?1?(x?2)2f(x?2)???(x?2)?e32x?2x?2f(x?2)dx??[1?(x?2)2]dx??e?(x?2)dx?37?1?e3
10、求曲线y?(x?1)参考答案：
3?x在A（-1，0），B（2，3），
C（3，0）各点处的切线方程
?11x?13??y?3?x?(x?1)?(3?x)3?(?1)?33?x?333(3?x)22
在A（-1，0）点处，k?y?(?1)?343
4(x?1)所以在A点处的切线方程为y?
而在B（2，3）点处，k?y?(2)?0 所以在B点处的切线方程为y-3=0
又在C（3，0）点处，k?y?(3)不存在，即切线与x轴垂直
所以C点处的切线方程为x=3
???0,x?,y?0所围y?sinx11、在区间?上，曲线与直线?2?2?
?
成的图形分别绕x轴和y轴所产生的放置体的体积。 参考答案：
绕x轴所产生的体积为
??220Vx???(sinx)dx???201?cos2x?2dx?24
绕y轴所产生的体积为：
Vy???()2dy???(arcsiny)2dy0201??11?212???y???(arcsiny)?y??y?2arcsiny?dy?00240??1?y????2??3?31arcsiny1?32??????d1?y????2??arcsinyd1?y2004444??1?y2??111??2??arcsiny?1?y20?2??1?y2?dy021?y?2?1?1
四、证明题（每小题5分，共10分） 1、设a,a,a,?a是满足a012n0?aa1a2????n?023n?1的实数。
证明多项式f(x)?a有一个零点 参考答案： 令F(x)?ax?a2x1020?a1x?a2x2??anxn在（0，1）内至少
???ann?1xn?1
显然F（x）在[0，1]上连续，（0，1）内可导，
且F（0）=0，F(1)?a0?aa1a2????n?023n?1
由罗尔定理得，在（0，1）内至少存在一点ξ，使F?(?)?0， 即a0?a1????an?n?00
在（0，1）内至少有一个
从而f(x)?a零点
?a1x?a2x2??anxn2、证明方程x=asinx+b，且a>0,b>0至少有一个正根，且不超过a+b
参考答案：（写出辅助函数1分，证明过程4分） 令f(x)=x-asinx-b
显然f(x)是一个初等函数，所以在[0，a+b]上连续
又f(x)在端点处的函数值有f(0)=-b<0 且f(a+b)=a+b-asin(a+b)-b
=a-asin(a+b)
=a[1-sin(a+b)]>=0 若f(a+b)=0,则a+b为方程的根
若f(a+b)>0，由零点存在定理可知，在（0，a+b）内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0
此即说明方程x=asinx+b至少有一个不超过a+b
的正根 3、
证明方程x5?x?1?0有且仅有一个小于1的正实根.
参考答案： （一） 先证存在性
设f(x)?x5?x?1，则f(x)在[0,1]连续,且f(0)??1,f(1)?1，由零点定理?x0?(0,1),使f(x0)?0，即为方程的小于1的正实根
（二） 再证唯一性
假设另有x1?(0,1),x1?x0,使f(x1)?0.因为f(x)在x0,x1之间满足罗尔定理的条件,所以至少存在一个?(在x0,x1之间)，使得f?(?)?0.但f?(x)?5x4?1?0,(x?(0,1))，这与f?(?)?0矛盾，假设不成立综上，方程x5?5x?1?0有且仅有一个小于1的正实根.
4、
证明当0?a?b时,有不等式b?ab?a?arctanb?arctana?1?b21?a2参考答案：（写出辅助函数并说明满足拉格朗日定理条件2分，余下步骤3分）
令f(x)?arctanxx?[a,b]
显然,f(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导,1且f?(x)?(arctanx)??1?x2
于是由拉格朗日中值定理，可得
arctanb?arctana?1?(b?a)(a???b)1??2
22因为b?ab?ab?a??221?b1??1?a2，所以1b??ba?arctanb?arctana?1b??aa
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