高考数学二轮复习第一部分专题五解析几何第三讲第二课时圆锥曲线的定点、定值、存在性问题教案(2021

2018年高考数学二轮复习 第一部分 专题五 解析几何 第三讲 第二课时 圆锥曲线的定点、定值、存在性问题

教案

2018年高考数学二轮复习 第一部分 专题五 解析几何 第三讲 第二课时 圆锥曲线的定点、定值、存在性问题教案

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2018年高考数学二轮复习 第一部分 专题五 解析几何 第三讲 第二课时 圆锥曲线的定点、定值、存在性问题

教案

第三讲 第二课时 圆锥曲线的定点、定值、存在性问题

圆锥曲线中的定点问题

[方法结论]

定点的探索与证明问题

(1）探索直线过定点时,可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点;

(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明一般情况．

[典例］(2017·洛阳模拟）设椭圆E：错误!＋错误!＝1(a＞b＞0）的右焦点为F,右顶点为A,B，

C是椭圆上关于原点对称的两点(B，C均不在x轴上），线段AC的中点为D，且B，F,D三点共

线．

（1)求椭圆E的离心率；

(2)设F（1,0）,过F的直线l交E于M,N两点，直线MA,NA分别与直线x＝9交于P,Q两点．证明：以PQ为直径的圆过点F.

解析：（1）法一：由已知A（a，0），F（c，0)，设B（x0，y0），C（－x0－y0),则D（错误!,－错误!）， ∵B,F，D三点共线，∴错误!∥错误!，又错误!＝（c－x0，－y0),错误!＝(错误!，－错误!)， 3

∴－y0(c－x0)＝－y0·错误!，

2∴a＝3c，从而e＝错误!。

法二：设直线BF交AC于D,连接OD，由题意知,OD是△CAB的中位线，∴OD綊错误!AB，∴错误!∥错误!,

∴△OFD∽△AFB。

∴错误!＝错误!,解得a＝3c,从而e＝错误!。 (2）∵F的坐标为(1,0)， ∴c＝1，从而a＝3，∴b＝8.

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教案

∴椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1。

设直线l的方程为x＝ny＋1，(n≠0） 由错误!?(8n＋9）y＋16ny－64＝0，

∴y1＋y2＝错误!，y1y2＝错误!，其中M(ny1＋1，y1），N（ny2＋1，y2)． ∴直线AM的方程为错误!＝错误!， ∴P(9，

6y1

），同理Q(9，错误!），

ny1－2

2

2

从而错误!·错误!＝（8，错误!）·（8,错误!）＝64＋错误!＝64＋错误! ＝64＋错误!＝0。

∴FP⊥FQ,即以PQ为直径的圆恒过点F。 [类题通法］

定点的探索与证明问题注意利用特殊化思想探求再证明，求解的方法常见的有如下两种： （1)直线过定点，引入适当的变量,求出直线方程，根据方程求出定点；

（2）曲线过定点,先用特殊位置的曲线探求定点，再证明曲线过该点,与变量无关．

［演练冲关]

(2017·高考全国卷Ⅱ)设O为坐标原点,动点M在椭圆C：错误!＋y＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N,点P满足错误!＝错误! 错误!。 （1)求点P的轨迹方程;

(2)设点Q在直线x＝－3上，且错误!·错误!＝1,证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

解析：(1)设P（x，y)，M（x0，y0)，则N(x0，0)，错误!＝(x－x0，y）,错误!＝（0，y0)， 由错误!＝错误! 错误!得x0＝x，y0＝错误!y。 因为M(x0,y0）在C上，所以错误!＋错误!＝1。 因此点P的轨迹方程为x＋y＝2。

(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3,t）,P(m，n),则

错误!＝（－3，t),错误!＝（－1－m，－n）， 错误!·错误!＝3＋3m－tn，

错误!＝（m,n）,错误!＝(－3－m，t－n)，

2

2

2

由错误!·错误!＝1得－3m－m＋tn－n＝1，又由（1）知m＋n＝2，故3＋3m－tn＝0。

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