求数列通项公式和前n项和的常用方法（含高考题精选）

求数列通项公式和前n项和的常用方法

一、求数列通项公式的常用方法

1.公式法：等差数列或等比数列的通项公式。

2.归纳法：由数列前几项猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。

aa2a3???n(an?0,n?2)型如: an?1?g(n)an a1a2an?14.构造新数列: 类型1累加法 an?1?an?f(n) 类型2 累乘法 an?1?f(n)an

3.累乘法:利用an?a1类型3 an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)?0)）。解法（待定系数法）：把原递

q，转化为等比数列求解。 1?pnn类型4 an?1?pan?q（其中p，q均为常数，。 （或an?1?pan?rq,(pq(p?1)(q?1)?0)）

a?1pan1n?1???引入其中p，q, r均为常数） 解法：先在原递推公式两边同除以q，得：nqn?1qqnqap1b?b?辅助数列?bn?（其中bn?n），得：再待定系数法解决。 n?1nqnqq类型5 递推公式为Sn与an的关系式。(或Sn?f(an))

推公式转化为：an?1?t?p(an?t)，其中t?解法：1.利用an???S1????????????????(n?1) 2.升降标相减法

?Sn?Sn?1???????(n?2)二、数列求和的常用方法

1.直接或转化等差、等比数列的求和公式求和 （1）等差数列求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?n（2）等比数列求和公式：Sn??a1(1?q)a1?anq

?(q?1)?1?q?1?q2.错位相减法 设数列?an?的等比数列，数列?bn?是等差数列，则求数列?anbn?的前n项和Sn。

(2n)21111113.裂项求和法 （1）an?（2）an??1?(?)等。??(2n?1)(2n?1)22n?12n?1n(n?1)nn?14.分组求和法：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为

几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

5.逆序相加法 把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

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三、数列高考题

1.(2011年高考辽宁卷理科17)（本小题满分12分）

已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8= -10

（I）求数列{an}的通项公式； （II）求数列??an?的前n项和. n?1??2?a?S12... (2014全国1)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an?0，a，其中?为常数. nn?1?n?a?（Ⅰ）证明：a；（Ⅱ）是否存在?，使得{an}为等差数列？并说明理由. n?2?n?

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3..（2016年全国III高考）已知数列{an}的前n项和Sn?1??an，其中??0．

（I）证明{an}是等比数列，并求其通项公式； （II）若S5?

4..（2016年山东高考）已知数列?an? 的前n项和Sn=3n2+8n，?bn?是等差数列，且an?bn?bn?1.

31 ，求?． 32(an?1)n?1（Ⅰ）求数列?bn?的通项公式；（Ⅱ）令cn?. 求数列?cn?的前n项和Tn. n(bn?2)

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5. (2011年高考全国新课标卷理科17)（本小题满分12分）

2等比数列?an?的各项均为正数，且2a1?3a2?1,a3?9a2a6. (1)求数列?an?的通项公式.

(2)设 bn?log3a1?log3a2?......?log3an,求数列?

?1??的前项和. ?bn?6.(2015全国1) Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，

}的前n项和

(Ⅰ)求{an}的通项公式：(Ⅱ)设

，求数列

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