点睛：本题考查瞬时变化率与平均变化率的概念与区别，考查识别与应用基本概念解决问题的能力. 【领悟技法】
1.求函数f(x)图象上点P(x0,f(x0))处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k，由导数的几何意义知k?f'(x0)，故当f'(x0)存在时，切线方程为
y?f(x0)?f'(x0)(x?x0).
2.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数y?f(x)在x?x0处的导数表示曲线在点
P(x0,f(x0))处切线的斜率，因此，曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程，可按
如下方式求得：
第一，求出函数y?f(x)在x?x0处的导数，即曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率；
第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程y?y0?f'(x0)(x?x0)；如果曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为x?x0. 【触类旁通】
【变式一】【福建省厦门市2018届二模】设函数的切线，则
的最小值是（ ）
，直线
是曲线
A. B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】分析：设切点是
，求出切线方程，可得
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，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出
的最小值即可的结果. 详解：设切点是由
切线方程为整理得
， 是切线斜率
， ，
，
，
记当当故即
的最小值是
，，
， 递减； 递增； ， 故选C.
点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出
出的切线斜率（当曲线
线方程为
在
处的导数，即
在点
在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切
.
上的函数
）；（2）由点斜式求得切线方程
【变式二】【2018届云南省昆明第一中学第八次月考】已知定义在
，设两曲线
等于（ ） A.
B. C. D.
与
在公共点处的切线相同，则值
【答案】D
【解析】分析：根据题意设出切点坐标为
，根据导数的几何意义及两曲线
与
在公共点处的切线相同可得
，解方程组即可求得的值
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详解：依题意设曲线∵
，
与
在公共点处的切线相同.
∴，
∴∵∴
，
，即
故选D.
点睛：本题考查导数的几何意义，解答本题的关键是列出方程组，方程组主要是从“两曲线
与
在公共点处的切线相同”转化引申出来的，说明切线的斜率相等，且这个
切点在两个函数的图象上，即切点的导数相等，且切点的坐标满足两个函数的解析式. 【变式三】曲线f(x)?x?x?3在点P处的切线平行于直线y?2x?1，则P点的坐标为（ ）
A．(1,3) B．(?1,3) C．(1,3)和(?1,3) D．(1,?3) 【答案】C.
【解析】因f'(x)?3x?1，令f'(x)?2，故3x2?1?2?x?1或?1，所以P(1,3)或
23(?1,3)，经检验，点(1,3)，(?1,3)均不在直线y?2x?1上，故选C．
【变式四】曲线f(x)?x过点P(?1,0)处的切线方程是_____________. 【答案】y?0，4x?y?4?0
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【变式五】已知函数f(x)?lnx?x，则函数f(x)点P（1，f(1)）的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 . 【答案】
1 47
【解析】因为f(1)?1,切线斜率k?f?(1)?1?1?2,所以切线方程为y?1?2(x?1)，与两xx?11111坐标轴的交点为A(0,?1),B(0,),因此围成的三角形的面积为?1??.
2224【易错试题常警惕】
易错典例1：已知曲线y?x?1． （1）求曲线在x??1处的切线方程； （2）求曲线过点(?1,0)的切线方程．
易错分析：易于因为审题不严或理解有误，将两道小题混淆，特别是第（2）小题独立出现时．
正确解析：（1）∵ y??3x， ∴曲线在x??1处的斜率k?y?∵x??1时，y?0，
∴曲线在x??1处的切线方程为y?3(x?1)， 即3x?y?3?0．
(2) 设过点(?1,0)的切线与曲线相切于点(x0,y0)， 则切线的斜率为k?y?x?x02， ?3x0x??132?3?(?1)2?3．
?y0?02?x?1?3x0∴?0， ?y?x3?10?032整理得2x0?3x0?1?0，
∴(x0?1)2(2x0?1)?0， 解得x0??1，或x0?1， 2∴所求的切线为3x?y?3?0，或3x?4y?3?0．
温馨提醒：(1)对于曲线切线方程问题的求解，对函数的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．(2)对于已知的点，应首先认真审题,对于确定切线的方程问题，要注意区分“该曲线过点P的切线方程”与“该曲线在点P处的切线方程”的两种情况，避免出错.从历年高考题看，“该曲线在点P处的切线方程”问题的考查较为普
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