2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设z?1?i?2i，则z?（ ） 1?iA．0 B．
1 2 C．1 D．2 2．已知集合A??x|x2?x?2?0?，则eRA?（ ） A．?x|?1?x?2?
B．?x|?1≤x≤2? D．?x|x≤?1?U?x|x≥2?
C．?x|x??1?U?x|x?2?
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ） A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．记Sn为等差数列?an?的前n项和．若3S3?S2?S4，a1?2，则a3?（ ） A．?12
B．?10
C．10
D．12
325．设函数f?x??x??a?1?x?ax．若f?x?为奇函数，则曲线y?f?x?在点?0，0?处的切线方程为
（ ） A．y??2x
B．y??x
C．y?2x
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D．y?x
uuur6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB?（ ） r1uuur3uuuAB?AC 44r1uuur3uuuC．AB?AC
44A．
r3uuur1uuuAB?AC 44r3uuur1uuuD．AB?AC
44B．
7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点
M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，
则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ） A．217
B．25
C．3
D．2
8．设抛物线C：y2?4x的焦点为F，过点??2，0?且斜率为
uuuuruuurFM?FN?（ ）
2的直线与C交于M，N两点，则3A．5 B．6 C．7 D．8
?ex，x≤09．已知函数f?x???，若g?x?存在2个零点，则a的取值范围是（ ） g?x??f?x??x?a，
lnx，x?0?A．??1，0?
B．?0，???
C．??1，???
D．?1，???
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分
别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（ ）
A．p1?p2
B．p1?p3
C．p2?p3
D．p1?p2?p3
x211．已知双曲线C：?y2?1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交
3点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则MN?（ ） A．
3 2 B．3 C．23 D．4
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面?所成的角都相等，则?截此正方体所得截面面
积的最大值为（ ）
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A．33 4 B．23 3 C．
32 4 D．3 2二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
?x?2y?2≤0?13．若x，y满足约束条件?x?y?1≥0，则z?3x?2y的最大值为________．
?y≤0?14．记Sn为数列?an?的前n项和．若Sn?2an?1，则S6?________．
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________
种．（用数字填写答案）
16．已知函数f?x??2sinx?sin2x，则f?x?的最小值是________．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。） （一）必考题：共60分。 17．（12分）
在平面四边形ABCD中，∠ADC?90?，∠A?45?，AB?2，BD?5． ⑴求cos∠ADB； ⑵若DC?22，求BC．
18．（12分）
如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
⑴证明：平面PEF⊥平面ABFD； ⑵求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
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19．（12分）
x2设椭圆C：?y2?1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为?2，0?．
2⑴当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； ⑵设O为坐标原点，证明：∠OMA?∠OMB．
20．（12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p?0?p?1?，且各件产品是否为不合格品相互独立．
⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f?p?，求f?p?的最大值点p0；
⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX； （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21．（12分）
已知函数f?x??1?x?alnx． x⑴讨论f?x?的单调性；
⑵若f?x?存在两个极值点x1，x2，证明：
f?x1??f?x2?x1?x2?a?2．
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