2020-2021中考数学锐角三角函数的综合复习附详细答案

2020-2021中考数学锐角三角函数的综合复习附详细答案

一、锐角三角函数

1．已知在平面直角坐标系中，点A?3,0?,B??3,0?,C??3,8?，以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交eE于点D，连接OD. （1）求证：直线OD是eE的切线；

（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交eE于点G，连接BG： ①当tan?ACF?②求

1时，求所有F点的坐标 （直接写出）； 7BG的最大值. CFBG1?43?,0?，F2(5,0)；② 的最大值为.

2CF?31?【答案】（1）见解析；（2）①F1?【解析】 【分析】

（1）连接DE，证明∠EDO=90°即可；

（2）①分“F位于AB上”和“F位于BA的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作GM?BC于点M，证明?ANF1~?ABC，得【详解】

（1）证明：连接DE，则：

BG1?，从而得解. CF2

∵BC为直径 ∴?BDC?90? ∴?BDA?90? ∵OA?OB ∴OD?OB?OA ∴?OBD??ODB

EB?ED

∴?EBD??EDB

∵

∴?EBD??OBD??EDB??ODB 即：?EBO??EDO ∵CB?x轴 ∴?EBO?90? ∴?EDO?90? ∴直线OD为eE的切线.

（2）①如图1，当F位于AB上时： ∵?ANF1~?ABC

ANNF1AF1?? ABBCAC∴设AN?3x，则NF1?4x,AF1?5x

∴

∴CN?CA?AN?10?3x ∴tan?ACF?∴AF1?5x?F1N4x110??，解得：x? CN10?3x73150 315043OF1?3??

3131?43?,0? ?31?即F1?

如图2，当F位于BA的延长线上时： ∵?AMF2~?ABC

∴设AM?3x，则MF2?4x,AF2?5x ∴CM?CA?AM?10?3x ∴tan?ACF?解得：x?F2M4x1?? CM10?3x72 5∴AF2?5x?2

OF2?3?2?5

即F2(5,0)

②如图，作GM?BC于点M， ∵BC是直径

∴?CGB??CBF?90? ∴?CBF~?CGB

BGMGMG?? CFBC8∵MG?半径?4

∴

BGMG41??? CF882BG1∴的最大值为.

2CF∴

【点睛】

本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

2．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=

81．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒45个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒． （1）求cosA的值；

（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=

9S△QCN时，求t的值； 5（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

【答案】（1）coaA=

439；（2）当t=时，满足S△PQM=S△QCN；（3）当t=27?33s或

2655527?33s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

26【解析】

分析：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；

（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=

9S△QCN构建方程即可解决问题； 5（3）分两种情形①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可； 详解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．

∵S△ABC=∴BE=

181?AC?BE=，

429， 2在Rt△ABE中，AE=∴coaA=

AB2?BE2=6，

AE64??． AB7.55（2）如图2中，作PH⊥AC于H．

∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC-AH-CQ=9-9t， ∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9-9t）2， ∵S△PQM=∴

9S△QCN， 5393?PQ2=??CQ2， 4549×（5t）2， 5整理得：5t2-18t+9=0，

∴9t2+（9-9t）2=解得t=3（舍弃）或∴当t=

3． 539时，满足S△PQM=S△QCN． 55（3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．

易知：PM∥AC， ∴∠MPQ=∠PQH=60°， ∴PH=3HQ， ∴3t=3（9-9t）， ∴t=27?33．

26