京津鲁琼专用高考数学二轮复习第一部分小题专题练小题
专题练五解析几何含解析
小题专题练(五) 解析几何
一、选择题
1．(2019·福建省质量检查)已知双曲线C的中心在坐标原点，一个焦点(5，0)到渐近线的距离等于2，则C的渐近线方程为( )
1
A．y＝±x
23
C．y＝±x
2
2
B．y＝±x
3D．y＝±2x
x2y22
2．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过F2的直
ab3
线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为( )
A.＋y＝1
3C.＋＝1 94
2
2
2
x2
2
B.＋＝1 32D.＋＝1 95
x2y2x2y2
x2y2
3．过点(3，1)作圆(x－1)＋y＝r的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A．2x＋y－5＝0 C．x－2y－5＝0
B．2x＋y－7＝0 D．x－2y－7＝0
4．(2019·石家庄市模拟(一))已知圆C截两坐标轴所得的弦长相等，且圆C过点(－1，0)和(2，3)，则圆C的半径为( )
A．8 C．5
2
2
B．22 D.5
2
2
5．(2019·重庆市七校联合考试)两圆x＋y＋4x－4y＝0和x＋y＋2x－8＝0相交于两点M，N，则线段MN的长为( )
A.C.35
565
5
2
B．4 D.125
5
6．直线l过抛物线y＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )
A．y＝－12x C．y＝－6x
22
B．y＝－8x D．y＝－4x
2
2
- 1 -
→→
7．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，则EF1·EF2
98的最大值、最小值分别为( )
A．9，7 C．9，8
2
x2y2
B．8，7 D．17，8
8．已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
1A. 32C. 3
B.2 322
3
D.
x2y2
9．(2019·唐山市摸底考试)已知F1，F2为椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过原
ab点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 62C.＋＝1 82
2
2
2
x2y2x2y2
B.＋＝1 84D.＋＝1 2016
x2y2x2
y2
10.如图，抛物线E：x＝4y与M：x＋(y－1)＝16交于A，B两点，︵
点P为劣弧AB上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N，则△PMN的周长的取值范围是( )
A．(6，12) C．(6，10)
B．(8，10) D．(8，12)
11．(多选)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，
94且一条渐近线方程为x－2y＝0，则双曲线C的方程可能为( )
A.－y＝1 4C.－x＝1 4
2
2
x2y2
x2y2
2
B．x－＝1
4D．y－＝1
4
2
2
y2x2
2
12．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y－x＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则( )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x＋y＝1 C．点P的横坐标为±1
- 1 -
2
2
D．△PF1F2的面积为2
13．(多选)已知抛物线C：y＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则( )
A．∠FQP＝60° C．|FP|＝4 二、填空题
14．已知圆C1：x＋(y－2)＝4，抛物线C2：y＝2px(p＞0)，C1与C2相交于A，B两点，85|AB|＝，则抛物线C2的方程为____________．
5
15．(2019·江西七校第一次联考)已知F1，F2为双曲线C：x－y＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________．
2
2
2
2
2
2
B．|QM|＝1 D．|FR|＝4
x2y2222
16．如图，椭圆C：2＋＝1(a>2)，圆O：x＋y＝a＋4，椭圆Ca4
的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若|PF1|·|PF2|＝6，则|PM|·|PN|的值为________．
x2y2x2y2
17．已知椭圆M：2＋2＝1(a＞b＞0)，双曲线N：2－2＝1.若双曲
abmn线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
小题专题练(五) 解析几何
x2y2
1．解析：选D.设双曲线C的方程为2－2＝1(a>0，b>0)，则由题意，得c＝5.双曲线
abb5bC的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，所以22＝2，又c2＝a2＋b2＝5，所以b＝2，
ab＋a所以a＝c－b＝1，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，故选D.
2．解析：选D.由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周
- 1 -
2
2
c2
长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2，
a3
所以b＝a－c＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选D.
95
3．解析：选B.因为过点(3，1)作圆(x－1)＋y＝r的切线有且只有一条，所以点(3，1)在圆(x－1)＋y＝r上，
1－01
因为圆心与切点连线的斜率k＝＝，所以切线的斜率为－2，
3－12则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故选B.
4．解析：选D.通解： 设圆的标准方程为(x－a)＋(y－b)＝r(r>0)，因为圆C经过点
??（a＋1）＋b＝r(－1，0)和(2，3)，所以?222，所以a＋b－2＝0 ①，又圆C截两坐标
?（a－2）＋（b－3）＝r?
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
轴所得的弦长相等，所以|a|＝|b| ②，由①②得a＝b＝1，所以圆C的半径为5，故选D.
优解： 因为圆C经过点M(－1，0)和N(2，3)，所以圆心C在线段MN的垂直平分线y＝－x＋2上，又圆C截两坐标轴所得的弦长相等，所以圆心C到两坐标的距离相等，所以圆心C在直线y＝±x上，因为直线y＝－x和直线y＝－x＋2平行，所以圆心C为直线y＝x和直线y＝－x＋2的交点(1，1)，所以圆C的半径为5，故选D.
5．解析：选D.两圆方程相减，得直线MN的方程为x－2y＋4＝0，圆x＋y＋2x－8＝0的标准形式为(x＋1)＋y＝9，所以圆x＋y＋2x－8＝0的圆心为(－1，0)．半径为3，圆心(－1，0)到直线MN的距离d＝
35
，所以线段MN的长为2
2
2
2
2
2
2
?3?2125
3－??＝.故选D.
5?5?
2
6．解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.又AB的中点到y轴的距离为2，所以－抛物线的方程为y＝－8x.故选B.
7．解析：选B.由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，设E(x，
2
x1＋x2
2
＝2，所以x1＋x2＝－4，所以p＝4，所以所求
y)(－3≤x≤3)，则EF1＝(－1－x，－y)，EF2＝(1－x，－y)，所以EF1·EF2＝x2－1＋y2＝x2－1
82x→→→→
＋8－x＝＋7，所以当x＝0时，EF1·EF2有最小值7，当x＝±3时，EF1·EF2有最大值8，
99故选B.
8．解析：选D.设抛物线C：y＝8x的准线为l，易知l：x2，
直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2，0)，
如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由|FA|2|FB|，知|AM|＝2|BN|，
- 1 -
2
2
→→→→
＝－
＝
所以点B为线段AP的中点，连接OB，
1
则|OB|＝|AF|，所以|OB|＝|BF|，所以点B的横坐标为1，因为k＞0，所以点B的坐标
222－022
为(1，22)，所以k＝＝.故选D.
1－（－2）3
9．解析：选A.因为点A在椭圆上，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，对其平方，得|AF1|＋|AF2|
2
2
2
2
2
2
2
2
2
＋2|AF1||AF2|＝4a，又AF1⊥AF2，所以|AF1|＋|AF2|＝4c，则2|AF1||AF2|＝4a－4c＝4b，122
即|AF1|·|AF2|＝2b，所以S△AF1F2＝|AF1||AF2|＝b＝2.又△AF1F2是直角三角形，∠F1AF2＝
21
90°，且O为F1F2的中点，所以|OA|＝|F1F2|＝c，由已知不妨设A点在第一象限，则∠AOF2
2＝30°，所以A(
31111
c，c)，则S△AF1F2＝|F1F2|·c＝c2＝2，c2＝4，故a2＝b2＋c2＝6，所22222
以椭圆方程为＋＝1，故选A. 62
10．解析：选B.由题意可得，抛物线E的焦点为(0，1)，圆M的圆心为(0，1)，半径为4，所以圆心M(0，1)为抛物线的焦点，故|NM|等于点N到准线y＝－1的距离，又PN∥y轴，故|PN|＋|NM|等于点P??x＝4y到准线y＝－1的距离，由?2，得y＝3，又点2
?x＋（y－1）＝16?
2
x2y2
P为劣
︵
弧AB上不同于A，B的一个动点，所以点P到准线y＝－1的距离的取值范围是(4，6)，又|PM|＝4，所以△PMN的周长的取值范围是(8，10)，选B.
11．解析：选AD.在椭圆＋＝1中，c＝9－4＝5.因为双曲线C与椭圆＋＝1有
9494相同的焦距，且一条渐近线方程为x－2y＝0，所以可设双曲线方程为－y＝λ(λ≠0)，化
4
x2y2x2y2
x2
2
x2y2
为标准方程为－＝1.当λ＞0时，c＝λ＋4λ＝5，解得λ＝1，所以双曲线C的方
4λλ程为－y＝1；当λ＜0时，c＝－λ－4λ＝5，解得λ＝－1，所以双曲线C的方程为
4
x2
2
y－＝1.综上，双曲线C的方程为－y＝1或y－＝1，故选AD.
4
4
4
12．解析：选ACD.等轴双曲线C：y－x＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确．由双曲线的方程可知|F1F2|＝22，所以以F1F2为直径的圆的方程为x＋y＝2，故B错误．点P(x0，
??x0＋y0＝2，22
y0)在圆x＋y＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以?解得|x0|＝1，则
?y0＝x0，?
2
2
2
2
2
2
2
x2x2
22
x2
1
点P的横坐标为±1，故C正确．由上述分析可得△PF1F2的面积为×22×1＝2，故D正确．故
2
- 1 -
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