四、给定整数n?3，实数a1,a2,?,an满足 minai?aj?1．求?ak的最小值．
1?i?j?nn3k?1解 不妨设a1?a2???an，则对1?k?n，有
ak?an?k?1?an?k?1?ak?n?1?2k，
所以
?ak?1n3k1n3??ak?an?1?k2k?1?3?
?21n?3 ???ak?an?1?k???ak?an?1?k2k?1?41n ???ak?an?1?k8k?1n?1?ak?an?1?k4?2?? ??31n3??n?1?2k． 8k?1n?12i?1当n为奇数时，
?n?1?2k?2?23??i3?k?1n312(n?1)2． 4当n为偶数时，
?n?1?2kk?13?2?(2i?1)3
i?1n2n?n?2?? ?2??j3??(2i)3?
i?1?j?1??? ?122n(n?2)． 43所以，当n为奇数时，?akk?1n3n122当n为偶数时，?(n?1)，ak?32k?1?122n(n?2)，32等号均在ai?i?nn?1,i?1,2,?,n时成立． 23因此，?ak的最小值为
k?1121(n?1)2（n为奇数），或者n2(n2?2)（n为偶数）． 3232
五、凸n边形P中的每条边和每条对角线都被染为n种颜色中的一种颜色．问：对怎样的n，存在一种染色方式，使得对于这n种颜色中的任何3种不同颜色，都能找到一个三角形，其顶点为多边形P的顶点，且它的3条边分别被染为这3种颜色？ 解 当n?3为奇数时，存在合乎要求的染法；当n?4为偶数时，不存在所述的染法。
3每3个顶点形成一个三角形，三角形的个数为Cn个，而颜色的三三搭配也刚好有3种，所以本题相当于要求不同的三角形对应于不同的颜色组合，即形成一一对应． Cn2我们将多边形的边与对角线都称为线段．对于每一种颜色，其余的颜色形成Cn?1种2搭配，所以每种颜色的线段（边或对角线）都应出现在Cn?1个三角形中，这表明在合2Cnn?1?乎要求的染法中，各种颜色的线段条数相等．所以每种颜色的线段都应当有n2条．
n?1不是整数，所以不可能存在合乎条件的染法．下设n?2m?12为奇数，我们来给出一种染法，并证明它满足题中条件．自某个顶点开始，按顺时针
当n为偶数时，
方向将凸2m?1边形的各个顶点依次记为A1,A2,?,A2m?1．对于i?{1,2,?,2m?1}，按
mod2m?1理解顶点Ai．再将2m?1种颜色分别记为颜色1,2,?,2m?1．
将边AiAi?1染为颜色i，其中i?1,2,?,2m?1．再对每个i?1,2,?,2m?1，都将线段（对角线）Ai?kAi?1?k染为颜色i，其中k?1,2,?,m?1．于是每种颜色的线段都刚好有m条．注意，在我们的染色方法之下，线段Ai1Aj1与Ai2Aj2同色，当且仅当
i1?j1?i2?j2(mod2m?1)． ①
因此，对任何i?j(mod2m?1)，任何k?0(mod2m?1)，线段AiAj都不与Ai?kAj?k同色．换言之，如果
i1?j1?i2?j2(mod2m?1)． ②
则线段Ai1Aj1都不与Ai2Aj2同色．
任取两个三角形?Ai1Aj1Ak1和?Ai2Aj2Ak2，如果它们之间至多只有一条边同色，当然它们不对应相同的颜色组合．如果它们之间有两条边分别同色，我们来证明第3条
边必不同颜色．为确定起见，不妨设Ai1Aj1与Ai2Aj2同色．
情形1：如果Aj1Ak1与Aj2Ak2也同色，则由①知
i1?j1?i2?j2(mod2m?1)， j1?k1?j2?k2(mod2m?1)，
将二式相减，得i1?k1?i2?k2(mod2m?1)，故由②知Ak1Ai1不与Ak2Ai2同色．
情形2：如果Ai1Ak1与Ai2Ak2也同色，则亦由①知
i1?j1?i2?j2(mod2m?1)， i1?k1?i2?k2(mod2m?1)，
将二式相减，亦得j1?k1?j2?k2(mod2m?1)，亦由②知Aj1Ak1与Aj2Ak2不同色．总之，
?Ai1Aj1Ak1与?Ai2Aj2Ak2对应不同的颜色组合．
六、给定整数n?3，证明：存在n个互不相同的正整数组成的集合S，使得对S的任意两个不同的非空子集A，B，数
?xx?AAx?X 与
?xx?BB
是互素的合数．（这里?x与X分别表示有限数集X的所有元素之和及元素个数．） 证 我们用f(X)表示有限数集X中元素的算术平均．
第一步，我们证明，正整数的n元集合S1??(m?1)!m?1,2,?,n?具有下述性质：对
S1的任意两个不同的非空子集A，B，有f(A)?f(B)． 证明：对任意A?S1，A??，设正整数k满足
k!?f(A)?(k?1)!， ① 并设l是使lf(A)?(k?1)!的最小正整数．我们首先证明必有A?l．
事实上，设(k??1)!是A中最大的数，则由A?S1，易知A中至多有k?个元素，即故f(A)?A?k?，别地有A?k．
此外，显然Af(A)?(k??1)!?(k?1)!，故由l的定义可知l?A．于是我们有
(k??1)!?k?!．又由f(A)的定义知f(A)?(k??1)!，故由①知k?k?．特k?l?A?k．
若l?k，则A?l；否则有l?k?1，则
1??1??(l?1)f(A)??1??lf(A)??1??(k?1)!
k?1l???? ?(k?1)!?k!???2!．
由于(k?1)!是A中最大元，故上式表明A?l?1．结合A?l即知A?l． 现在，若有S1的两个不同的非空子集A，B，使得f(A)?f(B)，则由上述证明知
A?B?l，故Af(A)?Bf(B)，但这等式两边分别是A，B的元素和，利用
(m?1)!?m!???2!易知必须A=B，矛盾．
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