三角函数与平面向量综合问题

最新高考数学优质高效专题学案（附经典解析）

三角函数与平面向量综合问题

【题型解读】

题型特点 从近几年的高考试题看，全国卷交替考查三角函数、解三角形．该部分解答题是高考得分的基本组成部分，考查的热点题型有：一是考查三角函数的图象变换以及单调性、最值等；二是考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题. ??题型一：三角函数的图象和性质 1．注意对基本三角函数y＝sin x，y＝cos x的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f(x)化为asin x＋bcos x的形式． (2)构造f(x)＝a＋b?

?

2

2?

命题趋势 主要是在三角恒等变换的基础上融合正、余弦定理，在知识的交汇处命题仍然是命题的关注点. ?

aa＋b2

2

·sin x＋

2

2

?

?

22·cos x?. a＋b?

b(3)和角公式逆用，得f(x)＝a＋bsin(x＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f(x)＝a＋bsin(x＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 【例1】 (2020年·山东卷)设函数

2

2

??π?π????

f(x)＝sin?ωx－?＋sin?ωx－?其?，62????

1

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中0＜ω＜3.已知(1)求ω；

?π?

?f??6?＝0. ??

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，π

再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在

4

?π3π???－，??上的最小值． 44??

【答案】见解析 【解析】(1)因为

??π?π????

f(x)＝sin?ωx－?＋sin?ωx－?所以?，62????

3

f(x)＝sinωx2

?1?1333?

－cosωx－cos ωx＝sin ωx－cosωx＝3?sinωx－cosωx?＝?2222?2??π??

3sin?ωx－??.因为3??

?π?ωππ??

f??＝0，所以－＝kπ，k∈Z.故663??

ω＝6k＋2，

k∈Z.又0＜ω＜3，所以ω＝2.

(2)由(1)得f(x)＝

?π??

sin?x－??.因为12??

?π??

3sin?2x－??，所以3??

g(x)＝

?ππ??

3sin?x＋－??＝43??

3

?π3π?

?

－，x∈???，所以44???π?π?π2π?

x－∈?－，?，当x－＝－

3?12?312

ππ3

，即x＝－时，g(x)取得最小值－. 342

【素养解读】

本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养．

2

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【突破训练1】 设函数f(x)＝－3sinωx－sin ωxcos ωx(ω>0)，

2π

且y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.

4(1)求ω的值； (2)求

?3π??

f(x)在区间?π，??上的最大值和最小值． 2??

【答案】见解析

31－cos2ωx131【解析】(1)f(x)＝－3·－sin2ωx＝cos2ωx－

22222sin2ωx＝

?π??

－sin?2ωx－??.因为3??

y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距

ππ2π

离为，故该函数的周期T＝4×＝π.又ω>0，所以＝π，因此ω＝

442ω1. (2)由(1)知

?π??

f(x)＝－sin?2x－??.当3??

3π5ππ8π

π≤x≤时，≤2x－≤，2333

?π?35π5π3??

所以－＝sin ≤sin?2x－?≤sin ＝1，所以－1≤f(x)≤，即

32322???3π??

f(x)在区间?π，??上的最大值和最小值分别为2??

3

，－1. 2

??题型二 解三角形

1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定

3

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理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题．

2．用正、余弦定理求解三角形的步骤

第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．

第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化．

第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果．

第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性． 【例2】 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且cos(C＋B)cos(C－B)＝cos2A－sin Csin B． (1)求A；

(2)若a＝3，求b＋2c的最大值． 【答案】见解析

【解析】(1)cos(C＋B)cos(C－B)＝cos2A－sinCsinB＝cos2(C＋B)－sinCsinB，则cos(C＋B)[cos(C－B)－cos(C＋B)]＝－sinCsinB，则－1

cosA·2sinCsinB＝－sinCsinB，可得cosA＝，因为0＜A＜π，所以A＝

260°.

abc

(2)由＝＝＝23，得b＋2c＝23(sinB＋2sinC)＝23[sinB

sinAsinBsinC＋2sin(120°－B)]＝23(2sinB＋3cosB)＝221sin(B＋φ)，其中tanφ

4

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???π?2π?7π?3?????＝，φ∈?0，?.由B∈?0，?得B＋φ∈?0，?，所以sin(B＋φ)?2362??????

的最大值为1，所以b＋2c的最大值为221.

【素养解读】

试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．

【突破训练2】 (优质试题·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对3的边分别为a，b，c.已知a>b，a＝5，c＝6，sin B＝.

5(1)求b和sin A的值； (2)求

?π??

sin?2A＋??的值． 4??

【答案】见解析

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【解析】(1)在△ABC中，因为a>b，故由sinB＝，可得cosB＝.由已知和

55余弦定理，有b＝a＋c－2accosB＝13，所以b＝13.由正弦定理得sinA2

2

2

asinB313

＝＝.

b13

213(2)由(1)及a

13

1252

所以sin2A＝2sin AcosA＝，cos2A＝1－2sinA＝－.

1313

5