最新高考数学优质高效专题学案（附经典解析）
故?π?ππ72??sin?2A＋?＝sin2Acos＋cos 2A·sin＝. 44426??
??题型三 三角函数与平面向量的综合
1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．
2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．
【例3】 (优质试题·佛山调考)已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx，－3sin2x)，
b＝(cosx,1)，x∈R.
(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，求边长b和c的值． 【答案】见解析
【解析】(1)f(x)＝a·b＝2cosx－3sin2x＝1＋cos2x－3sin2x＝1＋
?π??
2cos?2x＋?，由?3??
2
π
2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，
3
ππ
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
63所以
?ππ??
f(x)的单调递减区间为?kπ－，kπ＋??(k∈Z)． 63??
6
最新高考数学优质高效专题学案（附经典解析）
(2)因为
?π??
f(A)＝1＋2cos?2A＋??＝－1，所以3???π??
cos?2A＋??＝－1.因为3??
0＜Aππ7πππ
＜π，所以＜2A＋＜，所以2A＋＝π，即A＝.因为a＝7，
33333由余弦定理得a＝b＋c－2bccos A＝(b＋c)－3bc＝7.①
因为向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sinC)共线，所以2sinB＝3sinC． 由正弦定理得2b＝3c，② 由①②可得b＝3，c＝2.
2
2
2
2
【突破训练3】(优质试题·湖北八校联考) 已知△ABC的面积为S，3→→
且AB·AC＝S，|→AC－→AB|＝3. 2
(1)若f(x)＝2cos(ωx＋B)(ω＞0)的图象与直线y＝2相邻两个交点间的最短距离为2，且
?1??f??6?＝1，求△ABC??
的面积S；
(2)求S＋33 cosBcosC的最大值． 【答案】见解析
【解析】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 3→→31
因为AB·AC＝S，所以bccos A＝bcsinA，
222
π
解得tanA＝3，所以A＝.由|→AC－→AB|＝3得|→BC|＝a＝3.
3
(1)因为f(x)＝2cos(ωx＋B)(ω>0)的图象与直线y＝2相邻两个交点间的
?1?2π?最短距离T＝2，即＝2，解得ω＝π，故f(x)＝2cos(πx＋B)．又f??6?ω??
7
最新高考数学优质高效专题学案（附经典解析）
?π??
＝2cos?＋B??＝1，即6???π?1?
cos?＋B??＝2. 6??
π
因为B是△ABC的内角，所以B＝，从而△ABC是直角三角形，
6133
所以b＝3，所以S△ABC＝ab＝.
22
πa 3
(2)由题意知A＝，a＝3，设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝＝
3sinA3
213
＝23，解得R＝3，所以S＋33cosBcosC＝bcsin A＋33cosBcosC＝
24
bc＋33cosBcosC＝
33sinBsinC＋33cosBcosC＝33cos(B－C)，故S＋33cosBcosC的最大值为33.
8
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