故F(x)在区间(??,1?kk)上单调递减,在区间(1?,1)上单调递增； kk(2)当x>1时， x-1>0，F?(x)?? ①当k ②当k12x?1?k,(x?1)
?0时，F?(x)?0在(1,??)上恒成立，故F(x)在区间(1,??)上单调递减； ?0时，令F?(x)??x?1?12x?1?k?0,(x?1)，解得x?1?1， 24k且当1?11?时，；当时，F?(x)?0 F(x)?0x?1?224k4k故F(x)在区间(1,1?11上单调递减,在区间)(1?,??)上单调递增； 224k4k综上得，①当k=0时，F(x)在区间(??,1)上单调递增，F(x)在区间(1,??)上单调递减； ②当k<0时，F(x)在区间(??,1)上单调递增，在区间(1,1?1)上单调递减,在区间 24k(1?k1(??,1?)上单调递减,在区间 上单调递增；③当时，F(x)在区间,??)k?02k4kk,1)上单调递增,在区间(1,??)上单调递减. k(1?【名师指引】求函数的单调区间或研究函数的单调性是高考的一个热点，分段落函数用注意分段处理. 题型2：研究抽象函数的单调性
[例2]
定义在R上的函数y?f(x)，f(0)?0，当x＞0时，（b）.
（1）求证：f（0）=1；
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0； （3）求证：f（x）是R上的增函数；
（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.
[解题思路]抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”，从关键等式和不等式的特点入手. [解析]（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f 2（0）.
又f（0）≠0，∴f（0）=1. （2）证明：当x＜0时，－x＞0， ∴f（0）=f（x）·f（－x）=1.
ff(x)?1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·
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∴f（－x）=
1＞0.又x≥0时f（x）≥1＞0， f(x)∴x∈R时，恒有f（x）＞0. （3）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0.
∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）·f（x1）. ∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.
又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）·f（x1）＞f（x1）. ∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函数.
（4）解：由f（x）·f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函数， ∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.
【名师指引】
解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f［（x2－x1）+x1］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.
考点2 函数的值域（最值）的求法 题型1：求分式函数的最值
x2?2x?a[例3]已知函数f(x)?,x?[1,??).
x当a?1时，求函数f(x)的最小值； 2?
11时，f(x)?x??2，这是典型的“对钩函数”，欲求其最小值，可以考虑均值不等22x [解题思路]当a式或导数； [解析]当a
?
111时，f(x)?x??2,f'(x)?1?2 22x2x?x?1，?f?(x)?0.?f(x)在区间[1,??)上为增函数. ?f(x)在区间[1,??)上的最小值为f(1)?7. 21?2,若x?0，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否2x11)?2?2x??2?2?2 成立，否则会得到f(x)?(x?2x2x【名师指引】对于函数
f(x)?x?而认为其最小值为
2?2，但实际上，要取得等号，必须使得x?11，这时x?[,??) 2x2所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可.其次,不等式恒成立问题常转化
为求函数的最值.本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方
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法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想； 题型2：利用函数的最值求参数的取值范围
x2?2x?a[例4]已知函数f(x)?,x?[1,??).
x若对任意x?[1,??),f(x)?0恒成立,试求实数a的取值范围.
[解题思路] 欲求参数a的取值范围，应从x?[1,??),f(x)?0恒成立的具体情况开始.
x2?2x?a?0在区间[1,??)上恒成立； [解析]?f(x)?x?x2?2x?a?0在区间[1,??)上恒成立；
?x2?2x??a在区间[1,??)上恒成立；
?函数y?x2?2x在区间[1,??)上的最小值为3，??a?3
即a??3
【名师指引】这里利用了分离参数的方法，将问题转化为求函数的最值. 题型3：求三次多项式函数的最值 [例5]已知a为实数，函数值和最小值.
[解题思路]求三次多项式函数在闭区间上的最值，应该用导数作为工具来研究其单调性.
，322[解析]∵f(?1)?0，由f(x)?x?ax?x?a,f?(x)?3x?2ax?1，
3f(x)?(x2?1)(x?a)，若f'(?1)?0，求函数y?f(x)在[?,1]上的最大
2 ?3?2a?1?0,a?2, ……………………3分
?f?(x)?3x2?4x?1 ……………………4分
1由f?(x)?3(x?)(x?1) 得：
3当
1f?(x)?0时，x??1或x?? ……………………5分
31f?(x)?0时，?1?x?? ……………………6分
3311f(x)在区间[?,?1]和[?,1]内单调递减，而在[?1,?]内单调递减，
233当
因此，
且
150 f(x)极大值?f(?1)?2,f(x)极小值?f(?)?32715 / 19
又
313f(?)? f(1)?6,且50?13，
282783313?f(x)在[?,1]上的最大值f(1)?6,最小值f(?)?，………………10分
228【名师指引】用导数来研究其单调性和最值是高考考查的重点和热点，同时也是难点，要求考生熟练掌握用导
数来研究其单调性和最值的方法和步骤.
函数的奇偶性和周期性
考点1 判断函数的奇偶性及其应用 题型1：判断有解析式的函数的奇偶性 [例1] 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·1?x； 1?x?x(1?x)1?x2（3）f(x)?；（4）f(x)??|x?2|?2?x(1?x)(x?0),(x?0).
[思路点拨]判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域. [解析] （1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.
∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x）， ∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数.
1?x（2）先确定函数的定义域.由1?x≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是
偶函数.
（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.
?1?x2?0,??1?x?1,由?得?
x?0且x??4.|x?2|?2?0,??故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.
1?(?x)21?x21?x21?x2从而有f（x）= =，∴f（－x）==－=－f（x）
?xx?2?2xx故f（x）为奇函数.
（4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0， ∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）. 当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）. 故函数f（x）为奇函数.
【名师指引】○1函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为D,
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