则x?D时?x?D) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件
○2分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式. 题型2：证明抽象函数的奇偶性
[例2]定义在区间(?1,1)上的函数f (x)满足：对任意的x,y?(?1,1)， 都有
x?yf(x)?f(y)?f().
1?xy求证f (x)为奇函数； [思路点拨]欲证明
f(x)为奇函数，就要证明f(?x)??f(x)，但这是抽象函数，应设法充
分利用条件“对任意的x,y?(?1,1)，都有“赋值”
[解析]令x = y = 0，则
f (0) + f (0) = f(∴ f (0) = 0
令x∈(－1, 1) ∴－x∈(－1, 1) ∴ f (x) + f (－x) = f (∴ f (－x) =－f (x)
∴ f (x) 在(－1，1)上为奇函数
x?yf(x)?f(y)?f()”中的x,y进行合理
1?xy0?0)?f(0) 1?0x?x1?x2) = f (0) = 0
【名师指引】对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”，而抽象函数的不等式问题，要灵活利用已知条件，尤其是f (x1) －f (x2) = f (x1) + f (－x2) 考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用
[例3]已知奇函数f(x)是定义在(?2,2)上的减函数，若f(m?1)?f(2m?1)?0，求实数m的取值范围. [思路点拨]欲求m的取值范围，就要建立关于m的不等式，可见，只有从
f(m?1)?f(2m?1)?0出发，所以应该利用f(x)的奇偶性和单调性将外衣“f”脱去.
[解析] Qf(x)是定义在(?2,2)上奇函数
?对任意x?(?2,2)有f??x???f?x?
由条件f(m?1)?f(2m?1)?0得f(m?1)??f(2m?1)=f(1?2m)
Qf(x)是定义在(?2,2)上减函数
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??2?1?2m?m?1?2，解得??实数m的取值范围是?12?m? 2312?m? 23【名师指引】利用函数的奇偶性可以求对称区间上的函数的表达式
[例
4]设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1) 1a2?3a?1)的单调递减区间. 2[思路点拨]欲由f(2a2+a+1) 1a2?3a?1)是一个复合函数，应该利用复合函数单调性的判定方法解决 2[解析]设0 ∴f(－x2) 1712又2a2?a?1?2(a?)2??0,3a2?2a?1?3(a?)2??0. 4833由f(2a2+a+1) 325)－. 24∴函数y=( 31a2?3a?1)的单调减区间是[,??) 223a2?3a?13)的单调递减区间为［，3). 22结合0 【名师指引】偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，而奇函数在关于原点对称的两个区间上的单 调性相同. 考点3 函数奇偶性、周期性的综合应用 [例5]已知定义在R上的偶函数 f(x)满足f(x?2)?f(x)?1对 于x?R恒成立，且f(x)?0，则f(119)? ________ [思路点拨]欲求f(119)，应该寻找f(x)的一个起点值，发现f(x)的周期性 [解析]由f(x?2)?f(x)?1得到f(x?2)?函数，从而 1，从而得f(x?4)?f(x)，可见f(x)是以4为周期的f(x)f(119)?f(4?29?3)?f(3)， 18 / 19 又由已知等式得f(3)?1 f(1)又由f(x)是R上的偶函数得f(1)?f(?1) 又在已知等式中令x??1得f(1)?f(?1)?1，即f(1)?1 所以 f(119)?1 【名师指引】近年将函数的奇偶性、周期性综合在一起考查逐步成为一个热点，解决问题的关键是发现函数的周期性（奇偶性）. 19 / 19
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