方程思想、运算求解能力和空间想像能力．
(1)建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标将问题转化为证明AB1―→·PQ―→＝0；(2)→
利用向量几何求解：将PQ∥平面ABB1A1转化为PQ与平面ABB1A1的法向量垂直，结合平面的法向量与二面角的关系确定点P，最后利用体积公式计算体积．或用综合几何方法求解．
[解析] 解法一 由题设知，AA1，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AA1
所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为
A(0,0,0)，B1(3,0，6)，D(0,6,0)，D1(0,3,6)，Q(6，m,0)，其中m＝BQ,0≤m≤6.
99→→
(1)证明：若P是DD1的中点，则P(0，，3)，PQ＝(6，m－，－3)，AB1＝(3,0,6)，
22→→→→
于是AB1·PQ＝18－18＝0，所以AB1⊥PQ，即AB1⊥PQ；
→→
(2)由题设知，DQ＝(6，m－6,0)，DD1＝(0，－3,6)是平面PQD内的两个不共线向量． 设n1＝(x，y，z)是平面PQD的一个法向量， →??n1·DQ＝0，
则 ?
→??n1·DD1＝0，
?y＝0，?6x＋m－
?，即
?－3y＋6z＝0.?
2
取y＝6，得n1＝(6－m,6,3)．
又平面AQD的一个法向量是n2＝(0,0,1)， 所以cos〈n1，n2〉＝
n1·n2＝
|n1|·|n2|3
3－m2
＋6＋3
＝2
3－m2
＋45
，而二面角P3
－QD－A的余弦值为，因此
7
3＝，解得m＝4，或者m＝8(舍去)，此时2
－m＋457
Q(6,4,0)．
→→→
设DP＝λDD1 (0<λ<1)，而DD1＝(0，－3,6)，
→
由此得点P(0,6－3λ，6λ)，PQ＝(6,3λ－2，－6λ)．
→
因为PQ∥平面ABB1A1，且平面ABB1A1的一个法向量是n3＝(0,1,0)，所以PQ·n3＝0，即2
3λ－2＝0，亦即λ＝，从而P(0,4,4)，于是，将四面体ADPQ视为以△ADQ为底面的三棱
3
111
锥P－ADQ，而其高h＝4，故四面体ADPQ的体积V＝S△ADQ·h＝××6×6×4＝24.
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解法二 (1)如图c，取A1A的中点R，连接PR，BR，因为A1A，D1D是梯形A1AD1D的两腰，P是D1D的中点，所以PR∥AD，于是由AD∥BC知，PR∥BC，所以P，R，B，C四点共面．
由题设知，BC⊥AB，BC⊥A1A，所以BC⊥平面ABB1A1，因此BC⊥AB1①，
AR3A1B1
因为tan∠ABR＝＝ ＝＝tan∠A1AB1，
AB6A1A所以tan∠ABR＝tan∠A1AB1，因此∠ABR＋∠BAB1＝∠A1AB1＋∠BAB1＝90°，于是AB1⊥
BR，再由①即知平面AB1⊥平面PRBC，又PQ?平面PRBC，故AB1⊥PQ.
图c
图d
(2)如图d，过点P作PM//A1A交AD于点M，则PM//平面ABB1A1.
因为A1A⊥平面ABCD，所以PM⊥平面ABCD，过点M作MN⊥QD于点N，连接PN，则PN3MN3PM40
⊥QD，∠PNM为二面角P－QD－A的平面角，所以cos∠PNM＝，即＝，从而＝.③
7PN7MN3
连接MQ，由PQ//平面ABB1A1，所以MQ//AB，又ABCD是正方形，所以ABQM为矩形，故
MQ＝AB＝6.设MD＝t，则MN＝
MQ·MD6t＝ ④过点D1作D1E∥A1A交AD于点E，则2MQ2＋MD236＋tPMD1E6
AA1D1E为矩形，所以D1E＝A1A＝6，AE＝A1D1＝3，因此ED＝AD－AE＝3，于是＝＝＝2，
MDED3
36＋t40
所以PM＝2MD＝2t，再由③④得＝，解得t＝2，因此PM＝4.故四面体ADPQ的
33
2
111
体积V＝S△ADQ·h＝××6×6×4＝24.
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