函数的概念和函数的表示法
考点一：由函数的概念判断是否构成函数
函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有
唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
例1. 下列从集合A到集合B的对应关系中，能确定y是x的函数的是（ ）
① A={x ② A={x
x∈Z}，B={y
y∈Z}，对应法则f：x→y=
x; 3x>0,x∈R}, B={y
y∈R}，对应法则f：x→y2=3x;
2③ A=R,B=R, 对应法则f：x→y=x; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ）
y O y O y O y O X X X X ① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y是x的函数的有（ ） ①x2?y2=2 ②x?1?
y?1?1 ③y=x?2?1?x A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 变式3. 已知函数y=f（x），则对于直线x=a（a为常数），以下说法正确的是（ ）
A. y=f（x）图像与直线x=a必有一个交点 B.y=f（x）图像与直线x=a没有交点
C.y=f（x）图像与直线x=a最少有一个交点 D.y=f（x）图像与直线x=a最多有一个交点
变式4.对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有…( ) ①y是x的函数
②对于不同的x，y的值也不同
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式5．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有( )
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 考点二：同一函数的判定
函数的三要素：定义域、对应关系、值域。
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例2. 下列哪个函数与y=x相同（ ）
~ 1 ~
①. y=x ②.y?x??? ③. y?2?x? ④.y=t ⑤.y?23x3；⑥.y?x2
变式1.下列函数中哪个与函数y??2x3相同（ ）
A. y?x?2x B. y??x?2x C. y??x?2x3 D. y?x变式2. 下列各组函数表示相等函数的是（ ）
2?2 xx2?9 A. y? 与 y?x?3 B. y?x2?1 与 y?x?1
x?3 C. y?x0（x≠0） 与 y?1（x≠0） D. y?2x?1，x∈Z 与y?2x?1，x∈Z 变式3. 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
（1）y1?（2）y1?(x?3)(x?5)x?3y2?x?5
x?1x?1 y2?(x?1)(x?1)
（3）f1(x)?(2x?5)2 f2(x)?2x?5
考点三：求函数的定义域
（1）当f（x）是整式时，定义域为R；
（2）当f（x）是分式时，定义域是使分母不为0的x取值集合；
（3）当f（x）是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x取值集合；
（4）当f（x）是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x取值集合；
（5）当f（x）是对数式时，定义域是使真数大于0且底数为不等于1的正数的x取值集合；
已学函数的定义域和值域
1．一次函数y?ax?b(a?0):定义域R, 值域R; 2．反比例函y?
k
(k?0):定义域?x|x?0?, 值域?y|y?0?; x
3．二次函数y?ax2?bx?c(a?0):定义域R
??4ac?b2?4ac?b2?值域：当a?0时，?y|y??；当a?0时，?y|y??
4a4a????例3. ①函数y?1?x2?x2?1的定义域是（ ）
A. ??1,1? B. ( -1 , 1 ) C. [ -1 , 1 ] D. (-∞ ,-1 )∪( 1 ,+∞ ) 1
②函数y＝x＋1＋的定义域是(用区间表示)________．
2－x变式1. 求下列函数的定义域 (1)f(x)?
11； (2)f(x)?3x?2； (3)f(x)?x?1?. x?22?x~ 2 ~
?x?1?(4)y?
(6)y＝
1
(5)y＝x＋2；
x－4x?x01
； (7)y＝x2＋x＋1＋(x－1)0. |x|－2
求复合函数的定义域
例5. 已知函数f（2x?1）定义域为??1,3?, 求f（x）的定义域
变式1. 已知函数f（x?1）的定义域为[ 0，3 ]，求f（x）的定义域
2变式2. 已经函数f（x）定义域为[ 0 , 4], 求fx的定义域
??
考点四：求函数的值域 例6．求下列函数的值域
① y?3x?1 ， x∈{1，2 ,3，4，5 } ( 观察法 )
②y?x?4x?6 ，x∈?1,5? ( 配方法 ：形如y?ax?bx?c )
22
② y?2x?x?1 ( 换元法：形如y?ax?b?cx?d ) ④y?2xcx?d ( 分离常数法：形如y? ) x?1ax?bx2?xa1x2?b1x?c1④ y?2 ( 判别式法：形如y? ) 2x?1a2x?b2x?c2
~ 3 ~
变式1. 求下列函数的值域
2① y?2x ② y?x??4x?3x?1
② f(x)?2x2?3x?4 ④f(x)?2x2?3x?4 (?1?x?2)
2x?12x2?4x?7⑤ y = ⑥y?2
x?3x?2x?3
考点五：求函数的解析式
例7 . 已知f（x）= x?2x，求f（x?1）的解析式 （ 代入法 / 拼凑法/换元法 ）
2变式1. 已知f（x）= 2x?1， 求f（x）的解析式
2
变式2. 已知f（x+1）= x?3x?3，求f（x）的解析式
变式3. 已知f(x?1)?x?2x，试求f(x)的解析式.
例8. 若f [ f（x）] = 4x+3，求一次函数f（x）的解析式 （ 待定系数法 ）
变式1. 已知f（x）是二次函数，且f?x?1??f?x?1??2x?4x?4，求f（x）.
22
~ 4 ~
变式2.一次函数f(x)满足f[f(x)]?4x?5，求该函数的解析式.
变式3．已知多项式f(x)?ax?7，g(x)?x2?2x?b2，且f(x)?g(x)?x2?22x?9.试求a、b的值.
变式4．已知f(x)是二次函数，且f(0)=2，f(x+1)－f(x)=x－1，求f(x)的解析式.
变式5．已知二次函数f（x）＝x－bx＋c满足f（1＋x）＝f（1－x）， 且f（0）＝3，求f（x）的解析式.
变式6.已知函数f（x）是一次函数，且满足3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f（x）.
例9. 已知f（x）?2 f（?x）= x ，求函数f（x）的解析式 （ 消去法/ 方程组法 ）
变式1. 已知2 f（x）? f（?x）= x+1 ，求函数f（x）的解析式
变式2. 已知2 f（x）?f ?
~ 5 ~
2
?1?? = 3x ，求函数f（x）的解析式 x??
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