成人高考专升本高等数学二公式大全

成人高考专升本《高等数学二》公式大全

记为

??x???f?t?dt?a?x?b?ax

推理：?'(x)?[?xaf(t)dt]'?f(x)

?'(x)?[?

b(x)a(x)f(t)dt]'?f[b(x)]b'(x)?f[a(x)]a'(x)

定积分计算公式

利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度v?t??v?t??0?作直线运动，那么在时间区间?a,b?上所经过的路程s为

s??v?t?dtab

另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数s?t?，那么物体从到所经过的路程应该是（见图5-11） 即 图 5-11

'?v?t?dt?s?b??s?a?

ab的原函数s?t?，再求s?t?在区间?a,b?上的增量s?a??s?b?即可。

b由导数的物理意义可知：s?t??v?t?即s?t?是v?t?一个原函数，因此，为了求出定积分

?v?t?dt，应先求出被积函数v?t?ab如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分

?f?x?dx的一般方法：

a'????????Ffxa,bFxfx设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，即?x??f?x?，则

?f?x?dx?F?b??F?a?

ab这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成

?baf(x)dx?F(x)ba?F(b)?F(a)

牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数

值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 定积分的换元公式：

?baf(x)dx??f[?(t)?'(t)dt计算要领是：

??作代换x??(t)，要求当t从?变到?时，x严格单调地从a变到b,且x??(t)在[?,?]上有连续导数?'(t)定积分的分部积分法：

b?bauv'dx?uvba??vu'dx

a5.4.2定积分求平面图形的面积 1.直角坐标系下面积的计算

(1)由曲线y?f(x)和直线x?a,x?b,y?0所的求法前面已经介绍，此处不再叙述.

(2)求由两条曲线y?f(x),y?g(x)，

y y?f(x) 围成曲边梯形的面积

a o xx?dx b x y?g(x) 6 / 17

图5.8

(f(x)?g(x))及直线

成人高考专升本《高等数学二》公式大全

x?a,x?b所围成平面的面积A（如图5.8所示）.

下面用微元法求面积A. ①取x为积分变量，x?[a,b].

②在区间[a,b]上任取一小区间[x,x?dx]，该区间上小曲边梯形的面积dA可以用高f(x)?g(x)，底边为dx的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素

dA?[f(x)?g(x)]dx.

③写出积分表达式，即

A??[f(x)?g(x)]dx.

ab⑶求由两条曲线x??(y),x??(y)，(?(y)??(y))及直线y?c,y?d所围成平 面图形（如图5.9）的面积.

这里取y为积分变量，y?[c,d]， 用类似 (2)的方法可以推出：

y y d A??[?(y)??(y)]dy.

cdx??(y) o x??(y) x c

第四章知识点多元函数微分学

§4.1 偏导数与全微分 一. 主要内容： ㈠. 多元函数的概念

1. 二元函数的定义：z?f(x,y)(x,y)?D 定义域：D(f)

2. 二元函数的几何意义：

二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线） 表示一个平面；

z?R2?x2?y2表示球心在原点、半径为R的上半个球面； x2?y2，表示开口向上的圆锥面； 22，表示开口向上的旋转剖物面。

z?z?x?y㈡. 二元函数的极限和连续： 1. 极限定义：设()满足条件：

（点(x0,y0)可除外）1.在点(x0,y0)的某个领域内有定义。

7 / 17

成人高考专升本《高等数学二》公式大全

2、limf(x,y)?Ax?x0则称z?f(x,y)在(x0,y0)极限存在，且等于A。

y?y02. 连续定义：设()满足条件：

1在点(x0,y0)的某个领域内有定义。

?2?limf(x,y)?f(x0,y0)则称z?f(x,y)在(x0,y0)处连续。x?x0

y?y0㈢.偏导数：

定义:设函数z?f(x,y),在点(x,y)的某个邻域内有定义，当自变量x000在处取得改变量△x（△x?0),而y?y保持不变时，得到一个改变量。0f(x?(x,y)?对x的偏导数：fx00lim?x?00??x,y)?f(x,y)000?x

?(x,y)?对y的偏导数：fy00lim?y?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)?y

?(x,y),f?(x,y)分别为函数f(x,y)在(x,y)处对x,y的偏导数。fx00y0000z?f(x,y)在D内任意点(x,y)处的偏导数记为：

?f(x,y)f?(x,y)?x??x?x?z?z?x

?f(x,y)?(x,y)?fy㈣.全微分： 1.定义：()

?z??y?z?y

?y若?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)?A?x?B?y?o(?)

8 / 17

成人高考专升本《高等数学二》公式大全

其中，A、B与?x、?y无关，o（?）是比?较高阶的无穷小量（??A?x?B?y是函数z?f(x,y)处的全微分

则:dz?df(x,y)?A?x?B?y是z?f(x,y)

3. 全微分与偏导数的关系

(△x)2?(△y)2,则称

在点()处的全微分。

?(x,y),f?(x,y)连续，定理：若fx(x,y)?D.y

则：z?f(x,y)在点(x,y)处可微且

?(x,y)dx?f?(x,y)dydz?fxy

㈤.复全函数的偏导数：

1.设：z?f(u,v),u?u(x,y),v?v(x,y)

?z?fu(x,y),v(x,y)??

?z?z?u?z?v则：?????x?z??y?u?u?z?x?u??y?v?z??v?x

?v??y

2. 设y?f(u,v),u?u(x),v?v(x) ?y?f[u(x),v(x)]

dy?dx?y??udu?dx?y??vdvdx

㈥.隐含数的偏导数：

?1.设F(x,y,z)?0,z?f(x,y),且Fz?0

?z则?x??F?x?Fz?z,?y???Fy? Fz9 / 17

成人高考专升本《高等数学二》公式大全

2.

??0设F(x,y)?0,y?f(x),且Fy

dy则dx??F?xF? y㈦.二阶偏导数：

?z??(x,y)?z\fxx?xx?x2?2?(?x?z)?x

?zf??(x,y)?z\yy?yy?y22???y??(?y?z()?y

?z)?x

2?zf??(x,y)?z\xy?xy?x?y2?zf??(x,y)?z\yx?yx?y?x??(?x?z)?y

??(x,y)?f??(x,y)??(x,y)和f??(x,y)为x,y的连续函数时，则：fxy结论：当fxyyxyx

（八）隐函数的导数和偏导数

y'?F'(x,y)xF'y(x,y)对于方程F(x,y）?0所确定的y?f(x)，可以求出y对x的导数

?z??xF?(x,y,z)xF?(x,y,z)y?z..............?y?F?(x,y,z)yF?(x,y,z) z(九).二元函数的无条件极值 1. 二元函数极值定义：

设z(x,y)在(x0,y0)某一个邻域内有定义，

10 / 17