亭湖高级中学2015届高三数学全真模拟
数学Ⅱ（附加题） 5.30
注 意 事 项
考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共2页，均为非选择题(第21题～第23题)。本试卷满分40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。
3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4.如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
?11??1?2
21(B).已知矩阵A＝??，向量β＝??.求向量α，使得Aα＝β.
?21??2?
21(C).已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C的极坐?x??3t,?标方程为?2cos2??3?2sin2??3，直线l的参数方程为?(t为参数，t∈R)．试在曲
y?1?t??线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．
22.必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1?AB?AC?1，AB⊥AC，M，N分别是棱CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上．
（1）求直线PN与平面ABC所成的角最大时，线段A1P的长度；
（2）是否存在点P，使平面PMN与平面ABC所成的二面角为?，若存在，请指明点P的位置；
6若不存在，请说明理由．
23.(本题满分10分)对正整数n,记f(n)为数3n?n?1用十进制表示时各数位数字的和,如
2A1
P B1 C1
A M
B N （第22题）
C
n?2时, 3n2?n?1?15,从而f(2)?6;n?10时, 3n2?n?1?311,从而f(10)?5.
(1) 求f(7),f(8). (2) 求f(n)的最小值.
亭湖高级中学2015届高三数学全真模拟答案
1.??2,2?;2.-2;3 (,0);4.87;5.
1831 ;6.20;7. ;8.93?;
249.－5≤a≤4;10.
5016;11.; 12.2;13.m? ;14.2 3924???2分 3分 5分 7分
15.(Ⅰ)解：f(x)?m?n?3sin(?x?)?cos(?x?)?2sin(?x?)
336?2??由于图象的对称中心与对称轴的最小距离为，所以T??4???，??2
?44令2k???2≤2x??6≤2k???2，解得k???3≤x≤k???6(k∈Z)
?2??]，所以所求单调增区间为[0，]，又x?[0，[，?]
63(Ⅱ)解：f(A)?2sin(2A?A?k?或A?k????1???5? )?1，sin(2A?)?，2A??2k??或2A??2k??6626666?3
9分
?3?)，故A?(k∈Z)，又A?(0，3∵cosC?，C?(0，?)，∴sinC?5ba由正弦定理得，∴b??sinBsinA4?33?4，sinB?sin(A?C)?sin(?C)? 11分 531053sinB?33?4 14分
sinA16.证明：由题意可知，?PAC为等腰直角三角形，
?ABC为等边三角形． …………………2分
（1）因为O为边AC的中点，所以BO?AC，
因为平面PAC?平面ABC，平面PAC?平面ABC?AC， BO?平面ABC，所以BO?面PAC． …………………5分
因为PA?平面PAC，所以BO?PA，
在等腰三角形PAC内，O，E为所在边的中点，所以OE?PA， 又BO?OE?O，所以PA?平面EBO；…………………8分 （2）连AF交BE于Q，连QO．
因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，
所以AO?2，且Q是△PAB的重心，…………………10分
OG于是
B A E Q P F G
O C
AQ?2?AO，所以FG//QO. …………………12分 QFOG因为FG?平面EBO，QO?平面EBO，所以FG∥平面EBO． ……………14分 【注】第（2）小题亦可通过取PE中点H，利用平面FGH//平面EBO证得. 17.解：⑴法一：条件化为2Sn＝an＋k对n∈N*成立．
设等差数列公差为d，则2
n(n－1)dna1＋＝ a1＋(n－1)d＋k．
2
??2a1＝a1＋k，①
分别令n＝1，2，3得：?22a1＋d＝a1＋d＋k，②
??23a1＋3d＝a1＋2d＋k．③
由①＋③－2?②得，a1＋3a1＋3d＝22a1＋d．两边平方得，4a1＋d＝23a1＋3a1d． 两边再平方得，4a1－4a1d＋d＝0．解得d＝2a1． 代入②得，4a1＝3a1＋k，④
由④－①得，a1＝a1．所以a1＝0，或a1＝1． 又当a1＝0时，d＝0不合题意．所以a1＝1，d＝2． 代入①得k＝1．
2
2
2
an＋k?*
而当k＝1，a1＝1，d＝2时，Sn＝n，an＝2n－1，等式 Sn＝??2?对n∈N成立．
??
2
2
所以k＝1，an＝2n－1． 法二：设等差数列的首项为a1，公差为d， 则Sn＝na1＋
n(n－1)d2dd＝n＋(a1－)n，an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)．
2
2
2
2
an＋k?d2d12
代入Sn＝?得，n＋(a－)n＝， 1?2?224??
即2dn＋(4a1－2d)n＝dn＋2d(a1＋k－d)n＋(a1＋k－d)． …4分
2
22
2
??2d＝d，因为上面等式对一切正整数n都成立，所以由多项式恒等可得，?4a1－2d＝2d(a1＋k－d)，
??a1＋k－d＝0．??d＝2，
因为d≠0，所以解得，?a1＝1，所以常数k＝1，通项公式an＝2n－1．……8分
??k＝1．
⑵设cn＝ akn，则数列{cn}为等比数列，且c1＝ak1＝a2＝3，c3＝ak3＝a14＝27． 故等比数列{cn}的公比q满足q＝＝9． 又cn＞0，所以q＝3．所以cn＝c1qn－1
2
2
c3
c1
＝3?3
n－1
＝3． ……12分
n又cn＝akn＝2kn－1，所以2kn－1＝3．
1n1
由此可得kn＝?3＋． ……14分
2218.解：吊车能把球形工件吊上的高度y取决于吊臂的张角?，由图可知，
n
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