3.2.3 指数函数与对数函数的关系
课堂导学
三点剖析
一、求函数的反函数问题
【例1】求下列函数的反函数并求出它们的定义域.
2(1)y=1-x(-1≤x≤0);
(2)y=x-4x+7(x≤2).
222
解析：(1)∵y=1-x,∴x=1-y.
2
又-1≤x≤0,
222
∴0≤x≤1,0≤1-x≤1,0≤1-x≤1,即0≤y≤1.
∴x=-1-y2(0≤y≤1).
2∴所求反函数是y=-1-x(0≤x≤1).
(2)∵y=(x-2)+3,x≤2, ∴y≥3,x-2≤0.
∴x-2=-y-3,x=-y-3+2(y≥3). ∴所求反函数是y=-x-3+2(x≥3).
温馨提示
(1)根据反函数的定义,反函数存在的条件就是使自变量x在定义域内有唯一解的条件.因此,在解x时,就要注意这个条件是否会得到满足,从而判定函数是否存在反函数,并进而求出y的取值范围,即反函数的定义域.
(2)在交换x、y时,要将y的限制条件换成x的限制条件,并由此得到反函数的定义域. (3)可以通过求原函数值域的方法,来求出反函数的定义域. 二、指数函数与对数函数的图象关系
x
【例2】已知a>0,且a≠1,函数y=a与y=loga(-x)的图象只能是下图中的( )
2
思路分析：可以从图象所在的位置及单调性来判别,也可利用函数的性质识别图象,特别注意底数a对图象的影响.
x
解法一:首先,曲线y=a只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面上,从而排除A、C.
x
其次,从单调性着眼,y=a与y=loga(-x)的增减性正好相反,又可排除D.∴应选B.
x
解法二:若0 x 若a>1,则曲线y=a上升且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过点(-1,0),只有B满足条件. x 解法三:如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax,又y=logax与y=a互为反函数(图象关于直线y=x对称),则可直接选定B. 答案：B 温馨提示 (1)函数图象是一个重要问题,一定要掌握好所学过的各类函数的图象,才能解决各类变化了的问题. x (2)y=a与y=logax为互为反函数关系,其图象关于y=x对称. 三、指数函数与对数函数性质的综合运用 【例3】设函数f(x)是函数g(x)= 12 的反函数,则f(4-x)的单调递增区间为( ) x22 A.［0,+∞) B.(-∞,0］ C.［0,2) D.(-2,0］ 思路分析：f(x)=log1x,f(4-x)=log1(4-x),利用复合函数的单调性求单调区间. 222 解：f(x)=log1x,f(4-x)=log1(4-x),它是由函数log1u和u=4-x(-2 22 2 2 2 22 2当-2 (1)研究函数的单调性要用好单调函数的定义,有时数形结合方便. (2)熟练掌握指数函数与对数函数的单调性. 各个击破 类题演练1 求下列函数的反函数: x (1)y=7;(2)y=log8x;(3)f(x)=lnx. x 解析：(1)∵y=7,x∈R,把y作为自变量,x作为y的函数,则x=log7y,y>0,通常自变量用x表示,函数用y表示,则y=log7x,x>0. x ∴y=7的反函数是y=log7x(x>0). yx (2)∵y=log8x,∴8=x.∴y=8. ∴y=log8x的反函数是y=8(x∈R). (3)设y=f(x)=lnx, yx ∴x=e.∴y=e. -1x ∴f(x)=lnx的反函数是f(x)=e(x∈R). 变式提升1 x ex?e?x求函数y=x的反函数. ?xe?ee2x?1ex?e?x解析：由y=x得y=2x. e?1e?e?x∴ye+y=e-1. ∴e= 2x2x 2x 1?y1?y2x .∵e>0,∴>0.∴-1 ex?e?x11?x∴函数y=x的反函数为y=ln(-1 -x 当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a与y=logax的图象是( ) 解析：∵a>1,∴0<∴y=a=( -x 1<1. a1x )是减函数. a∴选A或D.而y=logax是增函数, ∴选A或B. ∴选A. 答案：A 变式提升 x 已知f(x)=a,g(x)=logax(a>0,a≠1),若f(3)·g(3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是( ) 解析：∵f(3)·g(3)<0,∴a·loga3<0. 又∵a>0,∴loga3<0.∴0 ∴f(x)与g(x)均为减函数.应选C. 答案：C 类题演练3 x 函数f(x)=a+loga(x+1)在［0,1］上的最大值与最小值之和为a,则a的值为( ) A. 3 11 B. C.2 D.4 42x 解析：∵y=a与y=logax的单调性相同, ∴f(x)的最大值为f(1)或f(0),最小值为f(0)或f(1). 从而f(1)+f(0)=a,∴loga2+1=0.∴a= 1. 2答案：B 变式提升3 x-m-1 定义在区间［2,4］上的函数f(x)=3(m是常数)的图象过点(2,1),则函数F(x)=［f(x)］2-12 -f(x)的值域为( ) A.［2,5］ B.［1,+∞) C.［2,10］ D.［2,13］ 2-mx-2 解析：由条件可知,3=1,∴m=2.∴f(x)=3. -1 ∴f(x)=log3x+2(1≤x≤9). 22 ∴F(x)=(log3x+2)-(log3x+2) 2 =log3x+2log3x+2 2 =(log3x+1)+1(1≤x≤3).故当x=1时,F(x)min=2; 当x=3时,F(x)max=5. ∴F(x)的值域为［2,5］. 答案：A
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