数学竞赛辅导系列专题(一)利用轴对称变换求最小值在初中数学竞赛中的应用举例

数学竞赛辅导系列专题（一） 利用轴对称变换求最小值在初中数学竞赛中的应用举例 新课改下的数学教学要求教师“要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教育资源 为学生提供丰富多彩的学习素材；关注学生的个性差异，有效地实施差异教学，使每个学 生都得到发展”。“对于学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生，教师要为他们提供足够的 材料，指导他们阅读，发展他们的数学才能。”

纵观近几年的全国各级数学竞赛，首先是紧扣教材和竞赛大纲，许多试题虽有一定难 度，但难而不怪，灵活性强，高而可攀。其次是精心设计，题目新型。而且注重知识的典 型性和迁移性，积极引导学生实现由知识到能力的过渡。因此，教师在教学过程中要努力 帮助学生挖掘课本的教育资源，注重知识的延伸和迁移，通过一题多问、一题多解、多题 一解等有效手段，培养学生的创新思维能力。让学生在学与练的过程中去体味奇妙的数 学、学习和领略奥妙的数学；从而提高学习数学的兴趣、勤奋地去开垦数学。

本文试图从“利用轴对称性质求最小值”问题入手，在挖掘课本教育资源、注重多题 一解、培养学生知识迁移能力方面作一些尝试与探索，与数学同行们交流，抛砖引玉。

（一）、课本原型： （七年级下册第 196页）如图（1）所示，要在街道旁修

建一个奶站，向居民区 A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 离之和最短？

解：如图（2）（，只要画出A点关于直线L的对称点C,连结BC交直线L于P, 则P点就是所求。这时 PA+PB=PC+PB为最小，（因为两点之间线段最短）。（证明：如 图（2 ）

A，B到它的距

￡

②,在 L上任取一点 P,连结

i

PiA , PiB , PiC ,因为

PiA+PiB=PiC+PiB>BC=PA+PB。这是根据三角形两边之和大于第三边，所以结论成立。）

A

A

（二）应用和延伸：例i、（七年级作业本题）如图（3），/ AOB内有一点 P,在0A

和0B边上分别找出 M、N，使△ PMN的周长最小。

解：如图（4），只要画出 P点关于OB 0A的对称点Pi, P2 ,连结Pi、P2交OB 0A于 M N,此时△ PMN的周长PM+PN+MNiff2为最小。（证明略）

例2、在图（i ）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是i 千米，并

且CD的距离4千米，在直线L上找一点P,使PA+PB的值最小。求这个最小值。

解：如图（i）①所示，只要过 Ai点画直线L的平行线与BD的延长线交于 H,在Rt △ ABH中，AiH=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得 AB的长度为4迈 千米。即PA+PB的最

小值为 4 2 千米。

i / 5

P1

B

（三）、迁移和拓展:

例 1、9（温州2003年中考题）如图（5），在菱形

EC=2a / BAD=120,点P在BD上，贝U PE+PC的最小值是（

(A) 6a , (B) 5a

(C) 4a ,

(D) 2

ABCD 中，AB=4a,E 在 BC 上, ）

图（5） （6）

图

解：如图（6）,因为菱形是轴对称图形，所以 BC中点E关于对角线BD的对称点

E一定落在AB的中点 巳，只要连结 CE, CE即为PC+PE的最小值。这时三角形 CBE是含有 300角的直角三角形，PC+PE=CE2 ...3 a。所以选（D）。

2、（ 2001年全国数学竞赛题）如图（7）,在直角坐标系 XOY中,

M0到定点P （ 5, 5）和到Q （2, 1）的距离分别为 MP和MQ那么当 （ X, ） M的横坐标X=-

占 值

X轴上的动点 MP+MQX最小

个

Y 6 | 5 L-

P (5,5)

(5,5)

4 I — 3 1 — 2 I — 1i ■

(2,1)

(2,1) Q

-1 O

-1 O

-1

1 :

i

-1

Q1

解：如图（8）,图只要画出点 Q关于X轴的对称点Q （2,

M点即为所求。点 M的横坐标只要先

求出经过

PQ两点的直线的解析式，（ Y=2X-

PQ交X于点

2 / 5

5）,令Y=0,求得X=5/2。（也可以用勾股定理和相似三角形求出答案）。

例 3、求函数 Y= X2 6X 10 + X2 6X

解：方法（I）、把原函数转化为

34的最小值。

Y=...（X 3）2 1 + . （X 3）2 52 ，因此可以理

解为在X轴上找一个点，使它到点（3, 1 ）和（-3 , 5）的距离之和最小。（解法同上一 题）。

方法（n）,如图（9）,分别以 PM=（ 3-X ）、AM=1 为边和以 PN=（ X+3）、BN=5

为边构建使（3-X） 和（X+3）在同一直线上的两个直角△

PAM △ PNB两条斜边的长就

是 PA= (X 3)2

1 和 PB=. (X 3)252

，因此，求Y的最小值就是求 PA+PB的最

小值，只要利用轴对称性质求出

BA的长，就是Y的最小值。（6运）。

（四）、思考与练习：

1、（ 2002湖北黄岗竞赛题）如图（10），/ AOB=45,角内有一点 P, PO=10在角两 边上有两点 Q R （均不同于点O），则△ PQR勺周长最小值是 ----------------- 。（提示：画点 P 关于OA的对称点P，点P关于OB的对称点P2,v / AOB=45,.?.A P1OP是等腰直角三角 形，RP2=10I2 ）。又问当厶PQR周长最小时，/ QPR勺度数= ----------- 。（100°）。

2、已知点 A （-2 , 1）,点B （3, 4）。在 X轴上求一点 P,使得PA+PB的值最小。这 个最小值是 --------------- 。（同例2）

3、（北京市竞赛题）如图（11）,在矩形 ABCD中，AB=20 cm, BC=10 cm,若在 AC AB上各取一点 M N,使BM+MN勺值最小，求这个最小值。（提示：要使 应设法把折线 BM+MN1直，从而想到用轴对称性质来做。画出点

BM+M的值最小，

B关于直线 AC的对称点

图（11）

B 图(12)

B,贝U BN的长就是最小值；又因为 N也是动点，所以，当 B1N丄AB时这个值最小，利用勾 股定

3 / 5

理和三角形面积公式可以求得这个最小值为 公式求解。）

16。初三的同学也可以用射影定理和面积

4 / 5

4、 （希望杯2001初二数学邀请赛试题），如图（12）在菱形ABCD中，/ DAB=120, 点E平分BC,点P在BD上，且PE+PC=1那么边长 AB的最大值是--------------------- 。（因为当

2 -

PE+PC最小时，AB=CD达到最大，这个最大值是 3 ）。

3

5、 （美国中学生竞赛题）如图（13），一个牧童在小河南 4英里处牧马，河水向正东 方流去，而他正位于他的小屋西 点A，连结AiB即为最短距离。）

(A) 4+ .. 185 英里(B) 16 英里

（C） 17英里

小河

8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然

）（提示：画点 A关于小河岸的对称

后回家，他能够完成这件事所走的最短距离是（

（D）18英里

E

13)

图（14）

B

6、（新蕾杯竞赛题）如图（14），正方形 ABCD勺边长为3，E在BC上，且BE=2 P 在BD上，求PE+PC的最小值。（与知识拓展例 1类似，因为点 C和点A关于直线BD对 称，所以AE是PC+PE的最小值，这个值为.13 ）。

7 、如图（15），在河湾处 M点有一个观察站，观察员要从 M点出发，先到 AB岸，再 到CD岸然后返回 M点，则该船应该走的最短路线是 -------------- （先画图，再用字母表 示）。（提示：，同知识迁移题）

图（16 ）

8、（温州2001年中考题）如图（ 16）, AB是。0的直径，AB=2 0C是。0的半径, OCL AB,点D在AC上,AD =2CD，点P是半径 0C上一个动点，那么 AP+PD的最小值是 —— ——。（只要找出点 D关于半径0C的对称点Di, AD的长就是AP+PD的最小值。因为△ ABD是含有趣300角的直角三角形，所以这个值是

.3 ）。

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9、 求代数式 X2 4X 13 + X2 4X 6 的最小值。（一

V 4

10、 （ 2000年湖北省选拔赛试题）在直角坐标系中，有四个点

.145

2

A （-8 , 3）、B（ -4 ,

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