高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.5距离（选
学）课堂探究学案新人教B版选修2-1
3.2.5 距离（选学）
课堂探究
探究一 用向量求两点间的距离
用向量法求两点间距离的方法主要是坐标法和基向量法，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，
→z2)，则dAB＝|AB|＝
x2－x1
2
＋y2－y1
2
＋z2－z1
2
，或利用|a|＝a·a求解．
【典型例题1】 已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折叠，使平面ABC与平面ADC垂直，求B，D间的距离．
思路分析：本题既可利用向量模求解，也可建立坐标系利用距离公式求解． 解法一：过D和B分别作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
则由已知条件可知AC＝5， 3×4123×412∴DE＝＝，BF＝＝.
5555
AD2997
∵AE＝＝＝CF，∴EF＝5－2×＝.
AC555
∵DB＝DE＋EF＋FB，
→→→→→2→→→2→2→2→2→→→→→→
∴|DB|＝(DE＋EF＋FB)＝DE＋EF＋FB＋2DE·EF＋2DE·FB＋2EF·FB.
∵平面ADC⊥平面ABC，DE⊥AC， ∴DE⊥平面ABC， →→
∴DE⊥BF，即DE⊥FB，
→2→2→2→214449144337∴|DB|＝DE＋EF＋FB＝＋＋＝，
25252525
∴|DB|＝
→337. 5
337. 5
故B，D间距离是
解法二：过D作DE⊥AC于E，过B作BF⊥AC于F，过E作FB的平行线EP，以E为坐标原点，EP，EC，ED所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．
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127
由解法一知DE＝FB＝，EF＝，
5512???127?∴D?0，0，?，B?，，0?，
5???55?∴DB＝?
→?12，7，－12??，
?5
5
5?
∴|DB|＝
→?12?2＋?7?2＋?－12?2＝337. ?5??5??5?5??????
探究二 求点到平面的距离
利用点到平面的距离定义，求点到平面的距离，就是过点作平面的垂线，点与垂足间的线段长就是点到平面的距离，从而转化到可解三角形中求解．
用向量法求点到平面的距离的方法：求出平面的一个法向量n的坐标，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量MP的坐标，那么P到平面的距离d＝|MP|·|cos〈n，MP〉|.
【典型例题2】 直三棱柱ABC - A1B1C1的侧棱AA1＝3，在底面△ABC中，∠ACB＝90°，
→→→AC＝BC＝1，求点B1到平面A1BC的距离．
思路分析：直接作平面的垂线较困难，故可考虑建立平面直角坐标系求解． 解：如图，建立空间直角坐标系，
由已知得直三棱柱各顶点坐标：A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，A1(1,0，3)，B1(0,1，→→→
3)，C1(0,0，3)，则A1B1＝(－1,1,0)，BC＝(0，－1,0)，A1C＝(－1,0，－3)． 设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)， →→
则n·A1C＝0，n·BC＝0，
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即－x－3z＝0，－y＝0.令x＝－3，则y＝0，z＝1， 所以平面A1BC的一个法向量为n＝(－3，0,1)， →|n·A1B1|3
所以点B1到平面A1BC的距离d＝＝.
|n|2探究三 求平行平面之间的距离
当两个平面互相平行时，其中一个平面内任一点到另一个平面的距离都相等，且都等于这两个平行平面间的距离，因此，两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离求解．
【典型例题3】 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
思路分析：平面A1BD与平面B1CD1间的距离就等于平面A1BD内任意一点到平面B1CD1的距离，即转化为求点到平面的距离．
解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
A1B＝(0,1，－1)，A1D＝(－1,0，－1)，A1D1＝(－1,0,0)．
设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)， →??n·A1B＝0，
则?
→??n·A1D＝0
→→→
??y－z＝0，
??
?－x－z＝0，?
令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1,1,1)，
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