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20**~20**学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）答案
一．（本题满分8分）
某城市有汽车100000辆，牌照编号从00000到99999．一人进城，偶然遇到一辆车，求该车牌照号中含有数字8的概率． 解：
设事件A??汽车牌照号中含有数字8?，所求概率为P?A?．…………….2分
95P?A??1?P?A??1?5?0.40951．…………….6分
10二．（本题满分8分）
设随机事件，，满足：P?A??P?B??P?C??件，，都不发生的概率． 解：
11，P?AB??0，P?AC??P?BC??．求随机事416 由于ABC?AB，所以由概率的非负性以及题设，得0?P?ABC??P?AB??0，因此有
P?ABC??0．…………….2分
所求概率为PABC．注意到ABC?A?B?C，因此有…………….2分
??P?ABC??1?P?A?B?C?…………….2分
?1?P?A??P?B??P?C??P?AB??P?AC??P?BC??P?ABC?
?1?111113???0???0?．…………….2分 44416168三．（本题满分8分）
某人向同一目标进行独立重复射击，每次射击时命中目标的概率均为，?0?p?1?．求此人第6次射击时恰好第2次命中目标的概率． 解：
P?第6次射击时恰好第2次命中目标?
?…………….2分 ?P?前5次射击中命中1次目标，第6次射击时命中目标?P?前5次射击中命中1次目标??P?第6次射击时命中目标?…………….2分
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4411?C5p?1?p??p?5p2?1?p?．…………….4分
四．（本题满分8分）
某种型号的电子元件的使用寿命（单位：小时）具有以下的密度函数：
?1000?x?1000p?x???x2．
?x?1000?0⑴ 求某只电子元件的使用寿命大于1500小时的概率（4分）；⑵ 已知某只电子元件的使用寿命大于1500小时，求该元件的使用寿命大于20**小时的概率（4分）． 解：
⑴ 设A??电子元件的使用寿命大于1500小时?，则
100010002P?A??P?X?1500???p?x?dx??dx???．…………….4分 2xx3150015001500??????⑵ 设B??电子元件的使用寿命大于2000小时?，则所求概率为P?BA?．
P?BA????P?X?2000?．…………….2分 P?AB?P?X?1500,X?2000?P?A?P?A?P?A???????10001000dx??而 P?X?2000???p?x?dx??x2x20002000?20001， 21??2?3．…………….2分 P?X?2000所以， P?BA??24P?A?3五．（本题满分8分） 设随机变量服从区间??1,2?上的均匀分布，而随机变量
X?0?1． Y???1X?0?求数学期望E?Y?． 解：
E?Y??1?P?Y?1????1??P?Y??1?…………….2分 ?1?P?X?0????1??P?X?0?…………….2分
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11??pX?x?dx??pX?x?dx??dx??dx
303?10???211??．…………….4分 333??020六．（本题满分8分）
设在时间（分钟）内，通过某路口的汽车数X?t?服从参数为的Poisson（泊松）分布，其中??0为常数．已知在1分钟内没有汽车通过的概率为，求在2分钟内至少有1辆汽车通过的概率． 解：
??t?k??tX?t?的分布列为P?X?t??k??e，?k?0,k!因此在t?1分钟内，通过的汽车数为
1,2,??．…………….2分
P?X?1??k???kk!e??，?k?0,1,2,??．
由题设，P?X?1??0??e???0.2，所以??ln5．…………….3分
0?2?5??2?因此，P?X?2??1??1?P?X?2??0??1?e?1?e?2ln5?1?0!124?．…………….3分 2525七．（本题满分8分）
设二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为
f?x,?10?x?1,0?y?2x y???0其它?求：⑴随机变量边缘密度函数fY?y?（4分）；⑵ 方差D?Y?（4分）． 解：
⑴fY?y???????f?x,y?dx．
因此，当y?0或者y?2时，fY?y??0．…………….1分 当0?y?2时，
??y2fY?y?????f?x,y?dx??dx?0y． 2优选教育资源 共赢共享共进
?y?所以， fY?y???2??00?y?2其它．…………….3分
⑵E?Y???????yfY?y?dy?12yydy?2?602232?024． 3EY2??13y42??yfY?y?dy??ydy??2…………….2分
2080????162?4?所以， D?Y??EY2??E?Y??2?2????2??．…………….2分
99?3???2八．（本题满分8分）
现有奖券10000张，其中一等奖一张，奖金1000元；二等奖10张，每张奖金200元；三等奖100张，每张奖金10元；四等奖1000张，每张奖金2元．而购买每张奖券2元，试计算买一张奖券的平均收益． 解：
设：购买一张奖券所得的奖金． 则的分布律为
所以，…………….2分
E?X??1000?11010010003?200??10??2??…………….4分 10000100001000010000537?2??（元）．…………….2分 551000 1 10000200 10 1000010 100 100002 1000 10000再令表示购买一张奖券的收益，则Y?X?2，因此
E?Y??E?X??2?九．（本题满分8分）
两家电影院竞争1000名观众，假设每位观众等可能地选择两个电影院中的一个，而且互不影响．试用中心极限定理近似计算：甲电影院应设多少个座位，才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过1%？
附：标准正态分布N?0,1?的分布函数??x?的某些数值表
1.96 0.975 2.06 0.98 2.17 0.985 2.33 0.99 2.38 0.995 ??x?
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