1
∴DE∥CB，DE＝CB，
2
∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形， ∴EF∥DM，
∵EF?平面PDC，DM?平面PDC， ∴EF∥平面PDC.
(2)解 ∵EF∥平面PDC，∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离． ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，
在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∴DP＝2， ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，
∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB， ∴CB⊥平面PAB， ∴CB⊥PB，则PC＝3， ∴PD2＋DC2＝PC2，
∴△PDC为直角三角形，其中PD⊥CD， 12
∴S△PDC＝×1×2＝，
22
连接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE， 设E到平面PDC的距离为h，
∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，AD，PA?平面PAD， ∴CD⊥平面PAD，
12111
则×h×＝×1×××1， 32322∴h＝
22，∴F到平面PDC的距离为. 44
思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)． (3)利用面面平行的性质(α∥β，a?α?a∥β)． (4)利用面面平行的性质(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．
跟踪训练1 (2018·崇左联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2，四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1.点E，F分别为侧棱PB，PEPF
PC上的点，且＝＝λ(λ≠0)．
PBPC
6
(1)求证：EF∥平面PAD；
1
(2)当λ＝时，求点D到平面AFB的距离．
2PEPF
(1)证明 ∵＝＝λ(λ≠0)，∴EF∥BC.
PBPC∵BC∥AD，∴EF∥AD.
又EF?平面PAD，AD?平面PAD， ∴EF∥平面PAD. 1
(2)解 ∵λ＝，
2∴F是PC的中点，
在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝2， ∴PC＝PA2＋AC2＝6， 16
∴PF＝PC＝. 22
∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD＝AC，PA⊥AC，PA?平面PAC， ∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC. 又AB⊥AD，BC∥AD，∴BC⊥AB， 又PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB， ∴BC⊥平面PAB，
16∴BC⊥PB，∴在Rt△PBC中，BF＝PC＝. 22连接BD，DF，设点D到平面AFB的距离为d，
在等腰三角形BAF中，BF＝AF＝∴S△ABF＝
5
， 4
6
，AB＝1， 2
又S△ABD＝1，点F到平面ABD的距离为1，
7
115∴由VF－ABD＝VD－AFB，得×1×1＝×d×，
3344545
解得d＝，即点D到平面AFB的距离为. 55题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明 (1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线， ∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面． (2)∵E，F分别是AB，AC的中点， ∴EF∥BC.
∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1∥AB且A1B1＝AB， ∴A1G∥EB，A1G＝EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形， ∴A1E∥GB.
又∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 引申探究
1．在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明 如图所示，连接A1C，AC1，交于点M，
8
∵四边形A1ACC1是平行四边形， ∴M是A1C的中点，连接MD， ∵D为BC的中点， ∴A1B∥DM.
∵A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1， ∴DM∥平面A1BD1，
又由三棱柱的性质知，D1C1∥BD且D1C1＝BD， ∴四边形BDC1D1为平行四边形， ∴DC1∥BD1.
又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1， ∴DC1∥平面A1BD1，
又DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D， 因此平面A1BD1∥平面AC1D.
2．在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，AD
D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求的值．
DC解 连接A1B，AB1，交于点O，连接OD1.
由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O， A1D1A1O
所以BC1∥D1O，则＝＝1.
D1C1OB同理，AD1∥C1D， 又AD∥C1D1，
所以四边形ADC1D1是平行四边形， 所以AD＝D1C1， 又AC＝A1C1，
9
A1D1DCDCAD所以＝，所以＝1，即＝1.
D1C1ADADDC思维升华 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义． (2)面面平行的判定定理．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行． (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
跟踪训练2 (2018·合肥质检)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．
(1)求证：平面BDM∥平面EFC；
(2)若AB＝1，BF＝2，求三棱锥A－CEF的体积． (1)证明 如图，设AC与BD交于点N，
则N为AC的中点，连接MN， 又M为棱AE的中点， ∴MN∥EC.
∵MN?平面EFC，EC?平面EFC， ∴MN∥平面EFC.
∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE， ∴BF∥DE且BF＝DE， ∴四边形BDEF为平行四边形， ∴BD∥EF.
∵BD?平面EFC，EF?平面EFC， ∴BD∥平面EFC.
又MN∩BD＝N，MN，BD?平面BDM， ∴平面BDM∥平面EFC. (2)解 连接EN，FN.
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