在正方形ABCD中，AC⊥BD， 又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC. 又BF∩BD＝B，BF，BD?平面BDEF， ∴AC⊥平面BDEF， 又N是AC的中点， ∴V三棱锥A－NEF＝V三棱锥C－NEF，
11212
∴V三棱锥A－CEF＝2V三棱锥A－NEF＝2××AN×S△NEF＝2××××2×2＝，
332232
∴三棱锥A－CEF的体积为.
3题型三 平行关系的综合应用
例4 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围． (1)证明 ∵四边形EFGH为平行四边形， ∴EF∥HG.
∵HG?平面ABD，EF?平面ABD， ∴EF∥平面ABD.
又∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB， ∴EF∥AB，又∵AB?平面EFGH，EF?平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH. (2)解 设EF＝x(0 CFxFGBFBC－CFx∴＝，则＝＝＝1－. CB46BCBC43∴FG＝6－x. 2 ∵四边形EFGH为平行四边形， 11 3 x＋6－x?＝12－x. ∴四边形EFGH的周长l＝2?2??又∵0 即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)． 思维升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决． 跟踪训练3 如图，E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，过A，C，E三点作平面α与正方体的面相交． (1)画出平面α与正方体ABCD－A1B1C1D1各面的交线； (2)求证：BD1∥平面α. (1)解 如图，交线即为EC，AC，AE，平面α即为平面AEC. (2)证明 连接AC，BD，设BD与AC交于点O，连接EO， ∵四边形ABCD为正方形，∴O是BD的中点， 又E为DD1的中点． ∴OE∥BD1，又OE?平面α，BD1?平面α. ∴BD1∥平面α. 1．下列命题中正确的是( ) A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行 D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，则b∥α 12 答案 D 解析 A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确． 2．(2018·菏泽模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n 答案 D 解析 若m⊥α，n⊥α，则m∥n，D正确；分析知选项A，B，C中位置不能确定，均不正确，故选D. 3．(2018·济南模拟)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( ) A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 答案 B 解析 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1. ∵AB?平面ABC，A1B1?平面ABC， ∴A1B1∥平面ABC. ∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE， ∴DE∥A1B1，∴DE∥AB. 4．(2018·大同模拟)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有( ) A．0条 C．2条 答案 C 解析 如图，设平面α截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形， 13 B．1条 D．0条或2条 则EF∥GH，EF?平面BCD，GH?平面BCD， 所以EF∥平面BCD， 又EF?平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD， 则EF∥CD，EF?平面EFGH，CD?平面EFGH， 则CD∥平面EFGH， 同理AB∥平面EFGH， 所以该三棱锥与平面α平行的棱有2条，故选C. 5．(2017·全国Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( ) 答案 A 解析 A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB. ∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交， ∴直线AB与平面MNQ相交； B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ， ∴AB∥MQ， 又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ； 14 C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ， ∴AB∥MQ， 又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ； D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ， ∴AB∥NQ， 又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ， ∴AB∥平面MNQ. 故选A. 6．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β； ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n； ③如果α∥β，m?α，那么m∥β； ④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的序号) 答案 ②③④ 解析 当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④. 7．(2018·贵阳模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m?α，n∥α，则m∥n； ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ； ③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β； ④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β. 其中是真命题的是________．(填序号) 答案 ② 解析 ①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m?β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误． 8．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________． 15
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