第18练 三角函数的图象与性质
[题型分析·高考展望] 三角函数的图象与性质是高考中对三角函数部分考查的重点和热点，主要包括三个大的方面：三角函数图象的识别，三角函数的简单性质以及三角函数图象的平移、伸缩变换.考查题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般为低中档，在二轮复习中应强化该部分的训练，争取对该类试题会做且不失分.
体验高考
π
0＜φ＜?个单位后得到函数g(x)的图象，1.(2015·湖南)将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ?2??π
若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ等于( )
35ππππA. B. C. D. 12346答案 D
解析 因为g(x)＝sin 2(x－φ)＝sin(2x－2φ)， 所以|f(x1)－g(x2)|＝|sin 2x1－sin(2x2－2φ)|＝2. 因为－1≤sin 2x1≤1，－1≤sin(2x2－2φ)≤1，
所以sin 2x1和sin(2x2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin 2x1＝1，sin(2x2－2φ)＝－1，
ππ
则2x1＝2k1π＋，k1∈Z，2x2－2φ＝2k2π－，k2∈Z，
222x1－2x2＋2φ＝2(k1－k2)π＋π，(k1－k2)∈Z， π
?k1－k2?π＋－φ?. 得|x1－x2|＝?2??πππ
因为0<φ<，所以0<－φ<，
222
ππ
故当k1－k2＝0时，|x1－x2|min＝－φ＝，
23π
则φ＝，故选D.
6
π
2x－?的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点2.(2016·四川)为了得到函数y＝sin?3??( )
π
A.向左平行移动个单位长度
3π
C.向左平行移动个单位长度
6答案 D
π
B.向右平行移动个单位长度
3π
D.向右平行移动个单位长度
6
πππ2x－?＝sin?2?x－??，则只需把y＝sin 2x的图象向右平移个单解析 由题可知，y＝sin?3????6??6位，选D.
πππ
ω>0，|φ|≤?，x＝－为f(x)的零点，x＝为3.(2016·课标全国乙)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?2??44π5π?
y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在??18，36?上单调，则ω的最大值为( ) A.11 B.9 C.7 D.5 答案 B
πTπππ
－?＝＋kT， 解析 因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－?444?4?44k＋12ππ4k＋1
即＝T＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N*)， 244ωπ5π?又因为f(x)在??18，36?上单调， 5πππT2π
所以－＝≤＝，即ω≤12，
36181222ω由此得ω的最大值为9，故选B.
4.(2015·浙江)函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.
3π7π
＋kπ，＋kπ?，k∈Z 答案 π ?8?8?1－cos 2x1
解析 f(x)＝＋sin 2x＋1
22＝
π32?2π
sin?2x－4?＋，∴T＝＝π. ?222
ππ3π
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 2423π7π
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
88
3π7π
＋kπ，＋kπ?，k∈Z. ∴单调递减区间是?8?8?
π??π?5.(2016·天津)已知函数f(x)＝4tan xsin??2－x?cos?x－3?－3. (1)求f(x)的定义域与最小正周期； ππ
－，?上的单调性. (2)讨论f(x)在区间??44?π
解 (1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}.
2π
x－?－3 f(x)＝4tan xcos xcos??3?
π
x－?－3 ＝4sin xcos??3?13
＝4sin x?cos x＋sin x?－3
2?2?＝2sin xcos x＋23sin2x－3 ＝sin 2x＋3(1－cos 2x)－3 π
2x－?. ＝sin 2x－3cos 2x＝2sin?3??2π
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
2
πππ
－＋2kπ，＋2kπ?，k∈Z. (2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的单调递增区间是?2?2?3πππ
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z.
232π5π
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
1212
πππ5π
－，?，B＝{x|－＋kπ≤x≤＋kπ， 设A＝??44?1212ππ
－，?. k∈Z}，易知A∩B＝??124?ππ
－，?时， 所以，当x∈??44?ππ
－，?上单调递增， f(x)在区间??124?ππ
－，－?上单调递减. 在区间?12??4
高考必会题型
题型一 三角函数的图象
例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
13
kπ－，kπ＋?，k∈Z A.?44??
13
k－，k＋?，k∈Z C.?4??4
13
2kπ－，2kπ＋?，k∈Z B.?44??
13
2k－，2k＋?，k∈Z D.?44??
ππ
2x－?图象上的点P?，t?向左平移s(s＞0)个单位长度得到点(2)(2016·北京)将函数y＝sin?3???4?
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