π2π?π
，时，0≤2x－≤π，从而 (2)当x∈??63?3πππ5π
当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，
32612ππ5π2π
当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减. 23123
π5π?5π2π
，上单调递增；在?，?上单调递减. 综上可知，f(x)在??612??123?点评 解决此类问题首先将已知函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式，再将ωx＋φ看成θ， 利用y＝sin θ(或y＝cos θ)的单调性、对称性等性质解决相关问题. 变式训练2 (2016·北京)已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；
(2)求f(x)的单调递增区间.
解 (1)f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx ＝sin 2ωx＋cos 2ωx ＝2?22?sin 2ωx＋cos 2ωx 2?2?
π
2ωx＋?， ＝2sin?4??
2π
由ω＞0，f(x)最小正周期为π，得＝π，解得ω＝1.
2ωπ2x＋?， (2)由(1)得f(x)＝2sin?4??πππ
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
2423ππ
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
88
3ππ
－＋kπ，＋kπ?，k∈Z. 即f(x)的单调递增区间为?8?8?题型三 三角函数图象的变换
π
ω>0，|φ|
ωx＋φ x Asin(ωx＋φ)
(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
0 0 π 2π 35 π 3π 25π 6－5 2π 0
(2) 将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)5π?
图象的一个对称中心为??12，0?，求θ的最小值.
π
解 (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
6
ωx＋φ x Asin(ωx＋φ)
π2x－?. 且函数表达式为f(x)＝5sin?6??π2x－?， (2)由(1)知f(x)＝5sin?6??π
2x＋2θ－?. 得g(x)＝5sin?6??
因为函数y＝sin x的图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z. πkππ
令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.
62125π?
由于函数y＝g(x)的图象关于点??12，0?成中心对称， kππ5π令＋－θ＝， 21212kππ
解得θ＝－，k∈Z，
23
π
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
6
点评 对于三角函数图象变换问题，平移变换规则是“左加右减，上加下减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x，要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向.当两个函数的φ
名称不同时，首先要将函数名称统一，其次把ωx＋φ写成ω(x＋)，最后确定平移的单位和
ω方向.伸缩变换时注意叙述为“变为原来的”这个字眼，变换的倍数要根据横向和纵向加以区分.
变式训练3 已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)， 函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过π2π
点(，3)和点(，－2). 123(1)求m，n的值；
(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间.
0 π 120 π 2π 35 π 7π 120 3π 25π 6－5 2π 13π 120
解 (1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x. π2π
因为y＝f(x)的图象过点(，3)和点(，－2)，
123
?3＝msin 6＋ncos 6，
所以?4π4π
－2＝msin ＋ncos ，?33
3m＋n，?3＝122
即?
31
－2＝－m－n，?22
ππ
?m＝3，解得?
?n＝1.
π
(2)由(1)知f(x)＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋).
6π
由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin(2x＋2φ＋).
6设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)，
2＋1＝1，所以x＝0， 由题意知，x00
即y＝g(x)图象上到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2). π
将其代入y＝g(x)得sin(2φ＋)＝1，
6π
因为0<φ<π，所以φ＝，
6π
所以g(x)＝2sin(2x＋)＝2cos 2x.
2由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z， π
得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，
2
π
所以函数y＝g(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ]，k∈Z.
2
高考题型精练
1.(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) π2x＋? A.y＝cos?2??C.y＝sin 2x＋cos 2x 答案 A
π2π
2x＋?＝－sin 2x，解析 y＝cos?最小正周期T＝＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，2??2π
2x＋? B.y＝sin?2??D.y＝sin x＋cos x
故A正确；
π
2x＋?＝cos 2x，y＝sin?最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y轴对称，故B不正确； 2??C，D均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C，D不正确.
π
2.(2016·课标全国甲)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对12称轴为( ) kππ
A.x＝－(k∈Z)
26kππ
C.x＝－(k∈Z)
212答案 B
π
解析 由题意，将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝
12πππkππ
2x＋?，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)，故选B. 2sin?6??6226
ππ
3.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f()等于( )
224
kππ
B.x＝＋(k∈Z)
26kππ
D.x＝＋(k∈Z)
212
A.－3 B.－1 C.3 D.1 答案 C
π3πππ
解析 由图象知，T＝＝2(－)＝，ω＝2.
ω8823π3π
由2×＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－，k∈Z.
84ππ又∵|φ|＜，∴φ＝.
24π
由Atan(2×0＋)＝1，
4π
知A＝1，∴f(x)＝tan(2x＋)，
4ππππ
∴f()＝tan(2×＋)＝tan＝3.
242443
π1
x－?的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再把新得到的4.先把函数f(x)＝sin??6?2π3π?π
图象向右平移个单位，得到y＝g(x)的图象，当x∈??4，4?时，函数g(x)的值域为( ) 3
A.?－
?
1?3?33?－，1 C.?－，? D.[－1，0) B.，1?2?2??22?
答案 A
ππ5π
x－?－?＝sin?2x－?， 解析 依题意得g(x)＝sin?2?6????3?6?π3π?π2π5π
，时，2x－∈?－，?， 当x∈??44?6?33?5π3
2x－?∈?－，1?， sin?6??2??此时g(x)的值域是?－
?
3?
，1，故选A. 2?
π
2x＋?的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到5.将函数f(x)＝－4sin?4??1π
原来的倍，所得图象关于直线x＝对称，则φ的最小正值为( )
24π33πA. B.π C.π D. 8842答案 B
解析 依题意可得y＝f(x)
ππ?y＝－4sin[2(x－φ)＋]＝－4sin[2x－(2φ－)]
44π
?y＝g(x)＝－4sin[4x－(2φ－)]，
4π
因为所得图象关于直线x＝对称，
4
π?k3
所以g?＝±4，得φ＝π＋π(k∈Z)，故选B. ?4?28
π
6.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A＞0，|φ|＜的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 2x的图象，
2则只需将f(x)的图象( )
π
A.向右平移个长度单位
6π
B.向左平移个长度单位
6π
C.向右平移个长度单位
3π
D.向左平移个长度单位
3
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