考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识 方法篇 专题4 三角函数与平面向量 第18练

答案 A

π?7π

，0和点?，－1?，易得：A＝1，T＝解析 由已知中函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象过点??3??12?7ππ?7π3π?7π，－1?代入可得，－＝π，4?即ω＝2，即f(x)＝sin(2x＋φ)，将点＋φ＝＋2kπ，k∈Z.?123??12?62πππ

2x＋?.设将函数f(x)的图象向左平移a个单位得到又因为|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin?3??23πππ

函数g(x)＝sin 2x的图象，则2(x＋a)＋＝2x，解得a＝－.所以将函数f(x)的图象向右平移

366个单位得到函数g(x)＝sin 2x的图象，故应选A.

7.(2016·课标全国丙)函数y＝sin x－3cos x的图象可由函数y＝sin x＋3cos x的图象至少向右平移____个单位长度得到. 答案

2π

3

π2π?x＋π?，x－?，解析 y＝sin x－3cos x＝2sin?y＝sin x＋3cos x＝2sin因此至少向右平移?3??3?3个单位长度得到.

π?x

－x－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为________. 8.(2015·湖北)函数f(x)＝4cos2cos?2?2?答案 2

xx

2cos2－1?－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋解析 f(x)＝4cos2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin x·?2??21)|，令f(x)＝0，得sin 2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐标系中作出函数y＝sin 2x与函数y＝|ln(x＋1)|的大致图象如图所示.

观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点.

π??π?π

＋x＝f－x，则f??＝_______. 9.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有f??6??6??6?答案 ±2

π??π?ππ

＋x＝f－x，∴x＝是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴.∴f??＝±2. 解析 ∵f??6??6??6?6π

10.把函数y＝sin 2x的图象沿x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)

6后得到函数y＝f(x)的图象，对于函数y＝f(x)有以下四个判断： π2x＋?； ①该函数的解析式为y＝2sin?6??π?

②该函数图象关于点??3，0?对称；

π

0，?上是增函数； ③该函数在??6?

π

0，?上的最小值为3， ④若函数y＝f(x)＋a在??2?则a＝23.

其中，正确判断的序号是________. 答案 ②④

πππ

x＋?＝sin?2x＋?的图象，然解析 将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到y＝sin 2?3??6??6ππ

2x＋?的图象，所以①不正确；y＝f??＝后纵坐标伸长到原来的2倍得到y＝2sin?3???3?ππππ

2×＋?＝2sin π＝0，所以函数图象关于点?，0?对称，所以②正确；由－＋2kπ≤2x2sin??33??3?2ππ5ππ

＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的单调增区间为321212

?－5π＋kπ，π＋kπ?，k∈Z，当k＝0时，增区间为?－5π，π?，所以③不正确；y＝f(x)＋a

12?12??1212?

ππππ4ππ4ππ

2x＋?＋a，当0≤x≤时，≤2x＋≤，所以当2x＋＝，即x＝时，函数取＝2sin?3??2333332得最小值，ymin＝2sin ②④.

π

x－?，x∈R. 11.(2015·天津)已知函数f(x)＝sin2x－sin2??6?(1)求f(x)的最小正周期；

ππ

－，?上的最大值和最小值. (2)求f(x)在区间??34?解 (1)由已知，

4π

＋a＝－3＋a＝3，所以a＝23，所以④正确.所以正确的判断为3

?2x－π?1－cos3??1－cos 2x

有f(x)＝－

22

1113＝?cos 2x＋sin 2x?－cos 2x 2?22?2＝

π311

2x－?. sin 2x－cos 2x＝sin?6?442?

2π

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

2

ππ

－，－?上是减函数， (2)因为f(x)在区间?6??3πππ1

－，?上是增函数，f?－?＝－， 在区间??64??3?4

ππ13－?＝－，f??＝， f??6?2?4?4

ππ3－，?上的最大值为， 所以f(x)在区间??34?41

最小值为－.

2

12.(2016·山东)设f(x)＝23sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间；

(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左π?π

平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g??6?的值. 3解 (1)由f(x)＝23sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2 ＝23sin2x－(1－2sin xcos x) ＝3(1－cos 2x)＋sin 2x－1 ＝sin 2x－3cos 2x＋3－1 π

2x－?＋3－1. ＝2sin?3??

πππ

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

232π5π

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).

1212

π5ππ5π

kπ－，kπ＋?(k∈Z)?或?kπ－，kπ＋??k∈Z??. 所以f(x)的单调递增区间是?1212?1212?????π

2x－?＋3－1， (2)由(1)知f(x)＝2sin?3??

把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， π

x－?＋3－1的图象， 得到y＝2sin??3?π

再把得到的图象向左平移个单位，

3得到y＝2sin x＋3－1的图象， 即g(x)＝2sin x＋3－1. π?π

所以g?＝2sin ＋3－1＝3. ?6?6