平差习题

1.1 观测条件是由哪些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？

1.2 测量误差分为哪几类？它们各自是怎样定义的？对观测成果有何影响？ 1.3 何谓多余观测？测量中为什么要进行多余观测？

1.4 测量平差的任务是什么？带有系统误差的观测值能否参加平差？

2.1 观测量的真值Li及真误差?i各是怎样定义的？它们与观测值Li之间有怎样的关系？ 2.2 在相同的观测条件下，大量的偶然误差呈现出什么样的规律性？ 2.3 偶然误差?服从什么分布？它的数学期望与方差各是多少？

2.4 何谓精度？通常采用哪几种衡量精度的指标？它们各自是怎样定义的？

2.5 在相同的观测条件下，对同一个量进行了若干次观测，这些观测值的精度是否相同？在相同的观测条件下所测得的观测值，能否理解为误差小的观测值一定比误差大的观测值的精度高？

2.6 为什么通常采用中误差作为衡量精度的标准？它的几何意义是什么？ 2.7 什么是极限误差？它的理论依据是什么？

2.8 已知两段距离的长度及其中误差为300.465m±4.5cm，660.894m±4.5cm，试说明这两个长度的真误差是否相等？它们的最大限差是否相等？它们的精度是否相等？它们的相对精度是否相等。

2.9 有一段距离，其观测值及中误差为345.675m±15mm，试估计这个观测值误差的实际可能范围是多少？并求出该观测值的相对中误差？ 3.1 协方差传播律是用来解决什么问题的？

3.2 相关观测值向量X的协方差阵是怎样定义的？试说明Dxx中各个元素的含义。当向量

n,?~n,nX中的各个分量是两两互相独立时，其协方差阵有什么特点？

n,?3.3 已知观测值L1,L2的中误差?1??2??,协方差?12?0。设

X??L???,Y?L???L?，Z?L?L?,T?X?Y，试求X、Y、Z、T的中误差。

3.4 已知独立观测值L1,L2的中误差为?1和?2，试求下列函数的中误差： （1）X?L1?2L2 （2）Y?n1,1n,1n,12312L1?L1L2 （3）Z?sinL1/sin(L1?L2) 23.5 已知观测值向量L,L2,L3及其协方差阵为

?D11D12?D22???对称D13??X?AL1?A0?D23?, 组成函数?Y?BL2?B0

??Z?CL?CD33?30??TA?,B?,C?为常数阵。式中A,B,C为系数阵，令W?[XYT试求协方差阵DWW。 ZT]T，

3.6 设有观测值向量L，其协方差阵为DLL?,??6?1?2??

???141???2???21?1

试分别求下列函数的方差：（1）F1?L1?3L2?2L3 （2）F2?L?L2?L 3.7 由已知点A（无误差）引出支点P，?0为起算方位角，其中误差为?0，观测角?和观测边长S的中误差分别为??和?s。试求P点坐标X、Y的协方差阵。

3.8 在三角形ΔABP中（见下图），A、B为已知点，L1、L2、L3为同精度独立观测值，其中误差为±1″，试求平差后P点坐标X、Y的协方差阵。

21123 3.9 为确定测站A上B、C、D方向间的关系（见上图），同精度观测了三个角，其值为

L1=45°02′，L2=85°00′，L3=40°01′设测角中误差σ=±1″，试求：

（1）观测角平差值的协因数阵；

（2）∠BAC，∠CAD角平差值的协方差；

3.10 在高级水准点A、B（其高程无误差）间布设附合水准路线，P1、P2为待定点，路线长S1=2km，S2=6km，S3=4km，设每公里观测高差的中误差为???1.0mm。试求： （1）将闭合差按距离分配之后的P1、P2两点间高差的中误差； （2）分配闭合差后P1点高程的中误差。

3.11 若要在坚强点间布设一条附合水准路线，已知每公里观测中误差等于±5.0mm，欲使平差后线路中点高程中误差不大于±10mm，问该路线长度最多可达几公里？

3.12 有一角度测20测回，得中误差±0.42″，问再增加多少测回，其中误差为±0.28″。 3.13 为什么权可以作为比较观测值之间精度高低的一种数字指标？某一量z权的大小是唯

?022一的吗？ 在pi?2中，?0的意义是什么？什么叫做单位权？什么叫做单位权观测值？

?i3.14 在同样观测条件下，作了四条路线的水准测量，它们的长度分别为S1=10.5km，S2=8.8km，S3=3.9km，S4=15.8km，试求各条路线的权，并说明单位权观测的线路长度。 3.15 已知观测值向量L的协因数阵为QLL??2,1?3?1?，试求观测值的权PL1和PL2。 ???12? 2

?6?T3.16 设有观测值向量L?[L1,L2]的权阵为PLL??52,13??52、?12以及PL和PL。 ?12、?2123?5?，单位权方差?2?3。试求

09??5?3.17 已知a，b，c的权分别为pa?pb?2,pc?3,x?30°，y?60°（无误差），试求函数A=asinx?bcosx?2c2sinxcosy的权pA。 3.18 设有函数F?f1x?f2y，其中

?x?a1L1?a2L2???anLn ,?i,?i为无误差的常数，而L1,L2,?,Ln的权分别为?y??L??L????L1122nn?p1,p2,?,pn，试求函数F的权倒数

1。 pF?Y1??11??X1??21????,求向量Y??Y???21??X? 12??2??2????3.19 已知观测值X1,X2的协因数阵QXX的协因数阵Qyy。

3.20 已知观测值X1,X2的协因数阵QXX???12?,设有函数??21??11??21?Y??X;Z??X;W?2Y?Z,试求协因数阵QYY，QYZ，QZZ，QYW，QZW，???21??11?QWW。

3.21 在一个测站上观测了4个方向，令方向观测值li的协因数阵为Qll?I，试求角度观测值Li的协因数阵QLL。

3.22 已知独立观测值向量L,其协因数阵为单位阵。组成方程

n,1V?BX?L

n,1n,tt,1n,1BTBX?BTL?0

T?1T式中BB为可逆阵。由上式得解向量 X?(BB)BL 后，即可计算改正数向量V和平

T??L?V 差值向量 L

3

?是否相关？试证明之。 （1）试求协因数阵QXX,QL（2）改正数向量V与X和L?L?；

3.23 单一三角形的三个观测角L1，L2,L3的协因数阵为QLL?I，现将三角形闭合差w

??L?w/3，式中w?L1?L2?L3?180°，试证明闭合差w与平均分配到各角，得Lii?互不相差关。 平差角L3.24 设在A、B两水准点间进行水准测量，每段往返的观测高差及距离列于下表。试求：

（1）单位权中误差；

（2）第3段观测高差中误差； （3）全长观测高差中误差； （4）全长高差平均值中误差。 段号 S（km） 往测高差（m） 返测高差(m) A-1 2.5 0.184 0.180 1-2 3.0 1.636 1.640 2-3 1.5 1.434 1.424 3-4 5.0 0.584 0.593 4-B 3.5 0.053 0.063

4.1 何谓必要元素？必要元素的个数与实际观测量有关吗？

4.2 为求得一个几何模型中各量的大小，为什么必须使观测个数大于必要观测数，即n>t？若n

4.3 测量平差的基本方法共有几种？试写出相应的函数模型。

4.4 在测量平差中n、t、r、c、u、s等六个字母各代表什么量？它们之间有何关系？ 4.5 对于同一平差问题，当引入参数的个数u分别为（1）u=0；（2）0＜u＜t （u 个独立参数）；（3）u =t（t 个独立参数）；（3）u ＞t（t 个独立参数）；各自应采用何种平差方法进行平差？以上四种情况下平差的结果相同吗？ 4.6 在水准网中（见右图），D点为已知点，A、B、C点为待定点，观测高差向量

5,1L?[h1h2?h5]T，试列出下列各种

情况的函数模型： （1）不设平差参数；

（2）选取A点至D点间高差为平差参数X； （3）选取A、B、C三点高程为平差参数

3,1~~~X?[X1~X2~TX3]；

~~4,1（4）选取A、B、C三点高程及A至D点间高差为平差参数X?[X14.7 如何将非线性方程转换成线性方程？ 4.8 什么是最小二乘法？最小的含义是什么？

~X2~X3~ X4]T；

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