∴△EHG∽△FAG， ∴∴
EHHG?， AFAG12?x?， 4?2x2x?25?55?5（舍）， ,x2?22∴x1?③若DG＝EG，则∠GDE＝∠GED， ∵AD∥BC， ∴∠GDE＝∠DEC， ∴∠GED＝∠DEC， ∵∠C＝∠EDF＝90°， ∴△CDE∽△DFE， ∴
CEDE?， CDDF∵△CDE∽△ADF， ∴∴
DECD1??， DFAD2CE1?， CD213，x＝， 2255-53或或． 422∴2﹣x＝
综上，x＝【点睛】
本题是四边形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等的性质和判定，矩形和平行四边形的性质和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三角形的性质是解决本题的关键．
3．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF?AE，连接DE，DF，EF. FH平分?EFB交BD于点H.
（1）求证：DE?DF； （2）求证：DH?DF：
（3）过点H作HM⊥EF于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）EF?2AB?2HM，证明详见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据正方形性质， CF?AE得到DE?DF.
（2）由△AED≌△CFD，得DE?DF.由?ABC?90?，BD平分?ABC， 得?DBF?45?.因为FH平分?EFB，所以?EFH??BFH.由于
?DHF??DBF??BFH?45???BFH,?DFH??DFE??EFH?45???EFH, 所以DH?DF.
（3）过点H作HN?BC于点N，由正方形ABCD性质，得
BD?AB2?AD2?2AB.由FH平分?EFB，HM?EF,HN?BC，得
?HNB?90?，所以BH?HM?HN.因为?HBN?45?，由EF?HN?2HN?2HM.
sin45?DF?2DF?2DH，得EF?2AB?2HM.
cos45?【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD?CD，?EAD??BCD??ADC?90?. ∴?EAD??FCD?90?. ∵CF?AE。 ∴△AED≌△CFD. ∴?ADE??CDF.
∴?EDF??EDC??CDF??EDC??ADE??ADC?90?. ∴DE?DF.
（2）证明：∵△AED≌△CFD，
∴DE?DF. ∵?EDF?90?， ∴?DEF??DFE?45?.
∵?ABC?90?，BD平分?ABC， ∴?DBF?45?. ∵FH平分?EFB， ∴?EFH??BFH.
∵?DHF??DBF??BFH?45???BFH,
?DFH??DFE??EFH?45???EFH, ∴?DHF??DFH. ∴DH?DF.
（3）EF?2AB?2HM.
证明：过点H作HN?BC于点N，如图，
∵正方形ABCD中，AB?AD，?BAD?90?， ∴BD?AB2?AD2?2AB.
∵FH平分?EFB，HM?EF,∴HM?HN.
HN?BC，
?HNB?90?， ∵?HBN?45?，∴BH?HN?2HN?2HM.
sin45?∴DH?BD?BH?∵EF?2AB?2HM.
DF?2DF?2DH，
cos45?∴EF?2AB?2HM. 【点睛】
本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数.
4．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在Rt△PFE中，∠EPF=90°，点
E、F分别在边AD、AB上．
（1）如图1，若点P与点O重合：①求证：AF=DE；②若正方形的边长为23，当∠DOE=15°时，求线段EF的长；
（2）如图2，若Rt△PFE的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，证明：PE=2PF．
【答案】（1）①证明见解析，②22；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）①根据正方形的性质和旋转的性质即可证得：△AOF≌△DOE根据全等三角形的性质证明；
②作OG⊥AB于G，根据余弦的概念求出OF的长，根据勾股定理求值即可；
（2）首先过点P作HP⊥BD交AB于点H，根据相似三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关系． 【详解】
（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OD，∠OAF=∠ODE=45°，∠AOD=90°， ∴∠AOE+∠DOE=90°， ∵∠EPF=90°， ∴∠AOF+∠AOE=90°， ∴∠DOE=∠AOF， 在△AOF和△DOE中，
??OAF＝?ODE?， ?OA＝OD??AOF＝?DOE?∴△AOF≌△DOE， ∴AF=DE；
②解：过点O作OG⊥AB于G，
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